несовпадение знаков соответствует нечетному количеству перепадов. Итак, чтобы найти вероятности для двух возможных значений произведения х(0 - т), нужно просуммировать значения, даваемые формулой (3.1) отдельно для четных и нечетных Л':

P{x{t)x{t - Т) = 1) = S РОк, I Т I) = Е 1MIJ2

/t=o /t=o (2)!

2 22

I т I)

lk+\

p{x{t)x{t-x) = -\)=Y.pi2k + \,\x\)=Y. -

= i(eM e-M)g-Xx i ig-2xT 2 2 2

Полученные результаты позволяют рассчитать среднее значение произведения x{t) x{t - т):

rm) = 1

1 + 1е-2М^( 1).Г1 1,-2Х|хГ U 2 J М2 2

= е-2х|х|

Итак, корреляционная функция данного случайного процесса экспоненциально затухает с ростом абсолютного значения т. Теперь с помощью теоремы Винера-Хинчина можно найти спектральную плотность мощности:

00 00

4А

а}} +0)

2

Интервал корреляции. Случайные процессы, изучаемые в радиотехнике, часто обладают следующим свойством: их функция корреляции стремится к нулю с увеличением временного сдвига т (напомним, что это является достаточным условием эргодичности процесса). Чем быстрее убывает функция r{x), тем слабее оказывается статистическая связь между мгновенными значениями случайного сигнала в два несовпадающих момента времени.

Количественной характеристикой, служащей для оценки скорости изменения реализаций случайного процесса, является интервал корреляции тк, определяемый как

Если известна информация о поведении какой-либо реализации случайного процесса в прошлом , то возможен вероятностный прогноз случайного процесса на время порядка Тк-

Эффективная ширина спектра. Пусть исследуемый случайный процесс характеризуется спектром плотности мощности W{a), имеющим максимальное значение И^тах- Заменим мысленно данный случайный процесс другим, у которого спектральная плотность мощности постоянна и равна И^ах в пределах некоторой полосы частот, выбираемой из условия равенства средних мощностей обоих процессов. Ширина этой полосы частот называется эффективной шириной спектра случайного процесса:

тахА эф=]и^( ) , О

Эффективную ширину спектра случайного процесса можно определить и другими способами, например исходя из условия уменьшения значений спектра мощности на фанице этого частотного интервала до уровня 0,1 И^тах- В любом случас величины Тк и Асоэф связаны известным из свойств преобразования Фурье соотношением неопределенности

АсОэфТ; ~ 2л.

Для иллюстрации этого соотношения на рис. 3.7 в центре приведены примеры реализаций двух случайных процессов, слева - корреляционные функции этих процессов, а справа - их спектры плотности средней мощности.

Рис. 3.7. Взаимосвязь между видом реализаций случайных процессов (б), их корреляционными функциями (о) и спектрами (в)

Белый шум. В радиотехнике так называют стационарный случайный процесс, спектральная плотность мощности которого постоянна на всех частотах:

И^(со) = Wo = const.

Согласно теореме Винера-Хинчина корреляционная функция белого шума представляет собой дельта-функцию:

н/ >

Т. е. равна нулю всюду, кроме точки т = 0. Дисперсия белого шума бесконечно велика.

В несовпадающие моменты времени значения белого шума не-коррелированы - как бы ни был мал интервал т, сигнал за это время может измениться на любую величину.

Белый шум является абстрактной математической моделью и физически существовать не может. Это объясняется прежде всего бесконечностью его дисперсии (т. е. средней мощности). Однако в тех случаях, когда полоса пропускания исследуемой цепи существенно уже эффективной ширины спектра шума, который на нее воздействует, можно для упрощения анализа приближенно заменить реальный случайный процесс белым шумом.

Замечание 2

Отметим еще раз, что вероятностные и корреляционные (или спектральные) характеристики случайного процесса - это совершенно различные и не связанные между собой функции. Так, например, нормальный случайный процесс может иметь самую разнообразную спектральную плотность мощности, а белый шум - произвольную функцию распределения. Единственная точка соприкосновения вероятностных и корреляционных характеристик - это возможность расчета дисперсии случайного процесса как на основе одномерной плотности вероятности (формула (3.6)), так и исходя из корреляционной функции (формула (3.10)).

3.7. УЗКОПОЛОСНЫЙ СЛУЧАЙНЫЙ ПРОЦЕСС

Важную роль в радиотехнике ифает особый класс случайных процессов, спектр которых сосредоточен в относительно узкой полосе вблизи некоторой частоты coq. Рассмотрим статистические свойства таких процессов.

Рис. 3.8. Спектральная плотность мощности узкополосного случайного процесса

Итак, пусть x(t) - случайный процесс, спектр плотности мощности которого IVxia) имеет узкополосный характер (рис. 3.8). Будем также считать этот случайный процесс стационарным, нормальным и центрированным.

Согласно теореме Винера-Хинчина (см. § 3.6), корреляционная функция и спектральная плотность мощности

случайного процесса связаны друг с другом преобразованием Фурье. Узкополосный характер спектра lVx{a) говорит о том, что корреляционная функция Rx{t) имеет вид узкополосного рацио-сигнала:

x(t) = (t) cos [щт + фо(х)1,

где Roil) и фо(т) - медленно (по сравнению с cos((Oot)) меняющиеся функции.

Узкополосный спектр и осциллирующий характер корреляционной функции означают, что отдельные реализации узкополосного случайного процесса представляют собой квазигармонические колебания:

x{t) A(t) cos [соо'+фО],

у которых как огибающая A(t), так и начальная фаза ф(/) являются случайными функциями, медленно (по сравнению с cos(coo)) изменяющимися во времени.

Для того чтобы определить статистические параметры огибающей и начальной фазы, поставим в соответствие вещественному случайному процессу х(/) комплексный случайный процесс Z(t) следующим образом:

z(t) = x{t)+jm,

где x(t) - сопряженный случайный процесс, реализации которого связаны с реализациями процесса x{t) преобразованием Гильберта (см. § 2.8):

x(t) = -

1 г х(г')

(3.22)

Также в § 2.8 было показано, что с помощью сопряженного сигнала можно определить мгновенные значения огибающей й полной фазы узкополосного сигнала:

A(t) =

[arctg [xXt)/x(t)] +71, xU)<0.

Рассмотрим статистические свойства сопряженного процесса. Во-первых, определим его математическое ожидание, применив усреднение к формуле (3.22) и затем поменяв усреднение и интегрирование местами:

л/{5с(0} = л/ 1

л t -f

п t-t

так как процесс x{t) является центрированным.

Далее, поскольку процесс x{t) нормальный, а преобразование Гильберта является линейным интегральным преобразованием, то нормальным будет и сопряженный процесс x{t).

Из свойств преобразования Гильберта (см. § 2.8, формулу(2.38)) следует, что спектры конкретных реализаций процессов x(t) и x{t) связаны следующим образом:

- jSCa), ш>0, Sx(a) =0, со = О,

JSx(a), со<0,

откуда видно, что энергетические спектры реализаций процессов x(t) и x{t) совпадают, а следовательно, совпадают и спектральные плотности мощности этих процессов: IVi) = х(<) Корреляционные функции связаны со спектрами плотности мощности обратным преобразованием Фурье, поэтому они тоже одинаковы: Ri ) = Rxi )

Нам осталось выяснить, имеется ли статистическая связь между процессами x(t) и x(t). Офаничимся при этом расчетом корреляции между ними в совпадающие моменты времени, т. е. вычислим Rd)

Rxx(0) = M{x{t)xit)}=M\x{t)

л

= М

x(t)x(t)

Далее, как и ранее, внесем операцию статистического усреднения под знак интефала, а затем используем замену переменной , = t-f:

RMO)--

M{x(t)x(t)}, 1 t-t л

Rx(t

Rxb)

d-z = 0.

Результат интефирования равен нулю, так как Rx(x) является четной функцией, а все подынтефальное выражение, следовательно - нечетной. Таким образом, процессы x{t) и x{t) в совпадающие моменты времени некоррелированы. Поскольку они, кроме того, являются нормальными, то из некоррелированности следует статистическая независимость.

Огибающая и полная фаза узкополосного случайного процесса.

Мгновенное значение комплексного случайного процесса Z(t) можно фафически изобразить в виде вектора на комплексной плоскости (рис. 3.9). Проекции этого вектора на оси Re и Im равны мгновенным значениям процессов x(t) и x{t) соответственно. Эти мгновенные значения статистически независимы и имеют нормальные распределения с нулевым средним и одинаковыми дисперсиями (равенство дисперсий следует из равенства корреляционных функций). Поэтому совместная плотность вероятности процессов л<г) и x{t) равна произведению их одномерных плотностей вероятности, каждая из которых имеет вид (3.19):

Pj(x,x) = Px(x)Pi(x) =

ехр

2 2 х^ + х'-

(3.23)

Для определения статистических свойств огибающей и фазы необходимо перейти в выражении (3.23) от декартовой (х,х) к полярной {А, ф) системе координат (см. рис. 3.9) и определить совместную плотность вероятности р/{А, ф). Связь между этими двумя координатными системами выражается следующими формулами:

x = А С08ф, x = А 81пф.

Кроме того, вероятность попадания

в бесконечно малую область в окрест- ,

Рис. 3.9. Комплексный случаи-

НОСТЯХ каждой точки комплексной й процесс в виде вектора на плоскости при смене системы КООрДИ- комплексной плоскости