Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

нат должна, очевидно, остаться неизменной. Площадь такой бесконечно малой области в декартовых координатах выражается как dxdx, а в полярных - как А dA dtp (рис. 3.10). Таким образом, получаем

Рис. 3.10. Переход от декарго- Pxxi, x)dx(B = Pxi(A С08ф, А smip)AdAd(p =


как

Отсюда видно, что искомая плотность вероятности выражается

А

Ра(р (А, ф) = Apj (А со5ф, А 81пф) =-у ехр

(3.24)

Чтобы найти одномерные плотности вероятности для огибающей и фазы, нужно проинтегрировать двумерную плотность (3.24) по лишним координатам:

Ра(А)= р^(Лф)(/ф, о

Рф(ф)= 1Р/4ф(Лф¥А о

Так как двумерная плотность (3.24) не зависит от фазы ф, плотность вероятности амплитуды рассчитывается совершенно элементарно:

Ра{а)= I-ехр

о 2ясг

Лр =-г ехр

I 2aJ

-exf

.(3.25)

Целесообразно перейти к безразмерной переменной z = А/ох, относительно которой

Piz) = zexp(-z /2). (3.26)

Плотность вероятности, описывающаяся законом (3.25) или (3.26), носит название закона Рэлея. График этого распределения, соответствующий формуле (3.26), приведен на рис. З.И. Из графика видно, что наиболее вероятны некоторые средние (порядка aj значения огибающей. В то же время маловероятно, чтобы огибающая принимала значения как близкие к нулю, так и значительно превосходящие среднеквадратичный уровень Сх узкополосного процесса.


Рис. 3.11. Плотность вероятности огибающей узкополосного случайного процесса (закон Рэлея)

Формула (3.25) позволяет известным образом (см. § 3.1) вычислить среднее значение и дисперсию огибающей:

М{А}= lApAA)dA = l-cxi

о О'х

dA =

-Gx 1.253 а

----

dA--ci =

1 -1)

1 2j

а2 0,429а2.

О С^х

Чтобы найти плотность вероятности фазы, необходимо проинтегрировать выражение (3.24) по А:

Рф(ф) = -2-ехр] о 27iaj(.

27ia

dA =

J 2n

(3.27)

т. е. фаза имеет равномерное распределение на интервале [О, 2я]. Физически это означает отсутствие какого-либо преимущественного значения полной фазы у отдельных реализаций узкополосного случайного процесса.

Из (3.24), (3.25) и (3.27) видно, что

/.4ф(Лф) = 4()/ф(ф)>

следовательно, амплитуда и полная фаза узкополосного случайного процесса в один и тот же момент времени являются статистически независимыми.

Узкополосный случайный процесс при наличии детерминированной составляющей. Рассмотрим теперь ситуацию, когда к узкополосному шуму добавлен узкополосный же детерминированный сигнал.




sit) Z(0

Рис. 3.12. Комплексный случайный процесс в виде вектора на комплексной плоскости при наличии детерминированной составляющей

равных s(t) и s(t), соответственно:

Комплексный случайный процесс в данном случае будет иметь следующий вид:

Z(t) = s(t) + js(t) + x(t) + At).

Изображение мгновенного значения Z(t) на комплексной плоскости будет отличаться от рис. 3.9 наличием детерминированного вектора s{t) (рис. 3.12).

Совместная плотность вероятности вещественной и мнимой частей этого комплексного процесса будет отличаться от (3.23) наличием смещений для х и х.

ехр

{x-s(t)Y{i-Sit)f]

Переход от декартовой системы координат к полярной, аналогичный рассмотренному ранее (см. (3.24)), дает следующее:

Рац,Ф) = Рхх( С05ф, А 51Щ) =

-ехр

{а С05ф - S(t)y + {а 51Щ - S(t))

Интегрирование этой двумерной плотности по фазе ф дает одномерную плотность вероятности для амплитуды данного случайного процесса (промежуточные выкладки опущены):

2п А (

Ра () = I Р/4ф (А ф)ф = - ехр

(3.28)

где Sf = -js(t) + s(t) - амплитудная огибающая детерминированного сигнала в данный момент времени. Плотность вероятности (3.28) носит название закона распределения Рэлея-Раиса. На рис. 3.13 показаны фафики данной плотности вероятности, соответствующие разным отношениям сигнал/шум, т. е. разным значениям S/ox- При S = О из (3.28) получается плотность вероятности, соответствующая закону Рэлея (3.26). При Sbx 1, как видно из фафиков, распределение огибающей приближается к нормальному закону.


Рис. 3.13. Плотность вероятности огибающей узкополосного случайного процесса при наличии детерминированной составляющей (закон Рэлея-Раиса)

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Какие сигналы называются случайными? Что является наиболее полной характеристикой случайного сигнала? Можно ли считать реализацию случайного процесса случайным сигналом?

2. Запишите выражения для статистических характеристик случайного процесса, связанных с одномерной плотностью вероятности.

3. Перечислите основные свойства плотности вероятности и функции распределения вероятностей случайной величины.

4. Что такое корреляционная и ковариационная функции случайного процесса? Как они связаны между собой?

5. Какие из графиков, приведенных ниже, могут изображать корреляционную функцию случайного процесса? Почему?

Я(т)* Я(т) Я(т)




э

т


г д е

6. Дайте определение случайных процессов, стационарных в узком и Широком смыслах.

7. На рисунке ниже приведены графики двух характерных реализаций случайного процесса. Может ли этот процесс быть стационарным в широком смысле?




8. Что такое эргодический случайный процесс?

9. Запишите выражения для плотности вероятности стационарного нормального случайного процесса. Дайте формулировку центральной предельной теоремы.

10. Почему понятие комплексного спектра не используется в отношении случайного процесса?

И. Что такое спектральная плотность средней мощности случайного процесса? Какова ее размерность? Сформулируйте теорему Винера- Хинчина.

12. Что такое белый шум ? Каковы его дисперсия и функция корреляции? Осуществим ли реально сигнал такого вида?

13. Что таксе интервал корреляции случайного процесса? Как он вычисляется? В какой связи он находится с эффективной шириной спектра?

ГЛАВА 4

ЛИНЕЙНЫЕ ЦЕПИ С ПОСТОЯННЫМИ ПАРАМЕТРАМИ

Цепи, применяемые для преобразования сигналов, весьма разнообразны по физическим принципам своей работы, внутреннему устройству и внешним характеристикам. В данной главе будет анализироваться прохождение детерминированных и случайных сигналов через линейные стационарные цепи.

Важнейший принцип классификации цепей основан на том, что различные цепи по-разному ведут себя при подаче на вход суммы нескольких сигналов. Цепь называется линейной, если для нее выполняется принцип суперпозиции, т. е. выходной отклик на сумму сигналов представляет собой сумму откликов на эти сигналы, поданные на вход цепи по отдельности. Математически это можно выразить следующим образом. Если входной сигнал Mbxi(0 производит выходной отклик МвыхКО, а сигналу Нвх2(0 на входе соответствует выходной сигнал МвыхгСО. то для линейной цепи поданная на вход комбинация сигналов в виде au\{t) + РМвхгСО создаст выходной отклик, выражающийся как а/гвых1(0 + Р вых2. где а и р - произвольные числа.

Если принцип суперпозиции не выполняется, то говорят, что цепь является нелинейной.

Цепь называется стационарной, если вид ее выходной реакции не зависит от того, в какой момент времени поступает входной сигнал. Иначе говоря, если входному сигналу Нвх(0 соответствует выходной сигнал Мвых(0, то сдвинутый во времени входной сигнал uJJ-x) будет создавать на столько же сдвинутый выходной

сигнал вых( - при любом значении временного сдвига т. Стационарные цепи называют также цепями с постоянными во времени параметрами.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 [ 19 ] 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51