ций известно, то выходной сигнал может быть получен как сумма независимо преобразованных цепью входных гармоник.

Тригонометрическая форма ряда Фурье. Будем считать известным [3],

что периодический сигнал (1.6) 5(г)= ЕК-Т), к = 0, +1, ±2,

определенный на бесконечном интервале t е (-оо, оо), может быть представлен в виде ряда Фурье:

/7 СО

SriO = + Е(% cos кщ1 + sin hint), (1.16)

где (fl = 2п/Т = Infi, fl =\/Т и k = I, 2, .... Установлено, что разложение (1.16) существует, если r(t) на периоде Т удовлетворяет условиям Дирихле:

не имеет разрывов 2-го рода (с уходящими в бесконечность ветвями функции);

имеет конечное число разрывов 1-го рода;

имеет конечное число экстремумов.

Коэффициенты а/ (включая oq) и определяются формулами а/с = -jr{t)cos btdt, bk =~ lr{t)sin katdt. (1.17)

Иногда удобнее вычислять ао/2 не по общему выражению для а/с, полученному в результате интегрирования, а положив Л = О непосредственно в (1.17):

= 1/-(0Л. (1.18)

В радиотехнической практике часто оказывается удобнее иное представление ряда (1.16). Проделав элементарные преобразования:

а/с coskiut + b/c sin kit =

COS k(u\t +

+ bl

rsinffli

= -a + А^(со5фд. cos А:сО/ - sin sin kat) = A/c cos(A:cui/ + Ф;) где tg(p/c =--, А/с = -a + b , получим представление сигнала

s/t) в виде ряда Фурье в вещественной форме:

Sr{t) = -+ TAcos{kwit + ipk). (1.19)

2 к=\

Часто используется обозначение (£i/c = к(й\ = 2nkf] = 2пк/Т. Совокупность ао/2 и коэффициентов А/с в (1.19) образует амплитудный, а совокупность (р/с - фазовый спектры периодического сигнала sM- Возможный ИХ вид показан на рис. 1.1, а, б соответственно.

Комплексная форма ряда Фурье. Воспользовавшись формулами Эйлера

cos а = i(e + е- ), Sl = ( > ряд (1.16) можно записать в виде:

= Z -Jb/c)e* . I Ua/c .Jb/c)e- .

2 l2 /с=]2

ао 1

Введем комплексные амплитуды

{aic+jb/c) = C /c-Cl (1.20)

и отрицательные частоты (й /с = -кац = -а/с, т. е. включим в область изменения к значения Л < О и запишем (1.16) в виде:

2 ;t=-co

lOol 2

0 ю1 CO2

fl б

Рис. 1.1. Возможный вид амплитудного (а) и фазового (б) спектров периодического сигнала

Это представление называют комплексной формой ряда Фурье. Если дополнительно ввести обозначение Q = Q = all, ряд Фурье в комплексной форме можно записать лаконичнее:

(1.21)

Целесообразность введения комплексной формы ряда Фурье обусловлена удобством выполнения математических преобразований и некоторыми другими обстоятельствами.

Коэффициенты ряда (1.21) Q образуют дискретный комплексный спектр периодического сигнала s(0> определенный на всех частотах (ufe Л = О, ±1, ±2, ... вместе с амплитудным Q и фазовым Ф;(. =s.rgCi спектрами. На рис. 1.2 приведен возможный вид амплитудного спектра Q .

Очевидно, что = С,/

= Q =А:/2- Рассмотрим ряд (1.21)

подробнее:

s,{t) = £Qe>* = ... + С ,е->-. +... + Со +... + Qe* +...; преобразуем, вновь используя формулы Эйлера, сумму

Cje * + C-eJ = IC cos ф; cos Лш,/ - 2C. sin ф^ sin A:cu,/ = = Од. sin kx£i\t + sin A:cO/ = IC/ cos (/сш/ + Ф; )

Следовательно, fljt = k 4>k> t>k = ~k 51Пф;.. Сопоставив выражения (1.17) и (1.20), замечаем, что

Ci IQli

- 2 -Щ 0 0), COj

Рис. 1.2 Амплитудный спектр периодического сигнала при использовании комплексной формы ряда Фурье

1 I 1

Ск =- к - А) = I / (О cos - У - J r(t) sintdt =

jriOe-Jdt. о

(1.22)

Формула (1.22) используется для непосредственного вычисления А: = 0,±1,±2, ... .

Замечание 1

Пределы интегрирования в выражениях (1.17) и (1.22) могут быть изменены; существенно лишь то, что интегрировать следует по интервалу, равному полному периоду, например, от -Т/2 до Т/2 или от - Гдо О и т. д. Это связано с тем, что для периодической с периодом Т функции f{t) значение определенного интеграла

\mdt

не зависит от к. Это соображение иногда оказывается полезным при практических вычислениях. Например, рассматривая (1.17) при симметричных пределах интегрирования от -Т/2 до Т/2, легко видеть, что ряд (1.17) будет содержать: в случае четности функции s,{t) лишь косинусоидальные члены с коэффициентами а^;, в случае нечетности функции st) лишь синусоидальные члены с коэффициентами bi - независимо от того, какие пределы интефирования будут реально выбраны при вычислении коэффициентов ai v\.bk.

Замечание 2

Подчеркнем эквидистантность спектра Фурье: частоты, на которых расположены коэффициенты ряда, образуют эквидистантную последовательность (...-2ш1, О, Ш1, 2а\, 3(й1, ...), непременно содержащую со = О и имеющую шаг (й1 = 2п/Т. Сами же коэффициенты могут принимать любые, в том числе и нулевые, значения.

Замечание 3

При обсуждении вопросов разложения периодического сигнала в ряд Фурье упоминалась ортогональность системы функций, по которой ведется разложение [1].

Напомним определение ортогональности системы функций: бесконечная система в общем случае комплексных функций do(0,ai(0,a2(0, -.ocmW. - ортогональна на интервале [а, Ь], если

jait) a {t)dt = О при т :А п и ]\6. {tfdt :а О. (1.23) а а

Для рассмотренных представлений гармонического ряда Фурье интервалом ортогональности [а, Ь] является период Г= 27i/(fl, а систему функций a {t) образуют комплексные экспоненты е*./* или cos kct, sin kat, для которых выполнение соотношений (1.23) легко проверяется непосредственно.

1.3. СПЕКТРЫ НЕКОТОРЫХ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Последовательность прямоугольных видеоимпульсов. Рассмотрим спектр сигнала, изображенного на рис. 1.3. Такой сигнал часто используется в различных радиотехнических приложениях, а его модель - в теоретической радиотехнике.

Аналитическое представление сигнала на интервале Т (представительный сигнал на периоде):

и, /е[-т/2,т/2], О, /г[т/2,т/2.

(1.24)

Введено обозначение длительности прямоугольного импульса т. Воспользуемся комплексной формой ряда Фурье (1.21):

Рис. 1.3. Последовательность прямоугольных видеоимпульсов

Q = ,-(Ов--Л = ф [Ue-J>-dt =

(Т) -т/2

1 i\

и

jkaT

,-Jk<bt

х/2 -т/2

jkaT

2U е

2 а 2

к(й\Т

т sm к(й, -

sm - = f/---- = и -

sin А: - 71 Т

к(й,Т

ка, -

. к

.(1.25)

sm-71

Так как lim = 1, Q = - = 6/ . Численно Со и осталь-

Вместо пределов интегрирования О и Г использовано обозначение (7), указывающее на необходимость интегрирования по интервалу Г (см. § 1.2, замечание 1). Удобные для вычислений пределы интегрирования появляются при подстановке в подынтегральное выражение конкретного r{t). к

и

ные коэффициенты Q. определяются по формуле (1.25) при задании конкретного значения отношения Т/х = q, которое называют скважностью последовательности. Коэффициенты с номерами к= q, 2q, 3q, ... равны 0. Анализируя поведение амплитудного

и sin X

спектра, удобно рассматривать функцию

(заменяя дис-

кретный аргумент синуса непрерывным аргументом х), как

огибающую дискретного амплитудного спектра

Огибающая

(пунктирная линия) и спектр

для q = 6 и и= I приведены на

рис. 1.4.

При q = 2 коэффициенты разложения последовательности прямоугольных видеоимпульсов в ряд Фурье в комплексной форме приобретают значения