Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

Если же свойства цепи не инвариантны относительно выбора начала отсчета времени, то такую цепь называют нестационарной (а также цепью с переменными во времени параметрами или параметрической цепью).

выходного сигнала в момент Го нужно просуммировать действие всех импульсов. При At О суммирование сводится к интегрированию, следовательно.

вых(0= ju,Anh(t-ndf.

(4.1)

4.1. ЧАСТОТНЫЕ И ВРЕМЕННЫЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ ЛИНЕЙНЫХ ЦЕПЕЙ. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ПРОХОЖДЕНИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Свойства линейности и стационарности позволяют рассчитать выходной сигнал цепи для любого входного воздействия, зная лишь реакцию цепи на элементарный входной импульс - дельта-функцию. Такая реакция является важнейшей характеристикой линейной цепи, она называется импульсной характеристикой и обозначается h{t). Если (О = 8(0, то Мвых(0 = Л(0-

Знание импульсной характеристики цепи позволяет найти ее реакцию на произвольный входной сигнал. Для уяснения сути этого метода поступим следующим образом. Разобьем произвольный сигнал Мвх(0 элементарные импульсы, как это показано на рис. 4.1, и найдем отклик цепи в момент времени на элементарный импульс, действующий на входе в момент г'. Если бы площадь этого импульса равнялась единице, его можно было бы рассматривать как дельта-функцию, возникшую в момент t. При импульсной характеристике цепи h(t) отклик в момент Го был бы, очевидно, равен Л(Го - г). Поскольку, однако, заштрихованная на рис. 4.1 площадь импульса равна Нвх() Д^ (а не единице), отклик в момент Го будет Ывх() Л(Го - г) At. Для определения полного значения

u {t)h{t-f)

UsS)h{to-t)


Рис. 4.1. Формирование выходной реакции цепи

Эта формула называется интегралом Дюамеля и представляет собой интеграл свертки.

Итак, если известна импульсная характеристика линейной цепи h{t), то можно найти ее реакцию на произвольный входной сигнал.

Условие физической реализуемости. Вне зависимости от конкретного вида импульсной характеристики физически осуществимой цепи всегда должен выполняться важнейший принцип причинности: выходной сигнал, отвечающий импульсному входному воздействию, не может возникнуть до момента появления импульса на входе. Отсюда вытекает очень простое ограничение на вид допустимых импульсных характеристик: h{t) = О при г < 0.

Легко видеть, что для физически реализуемой системы верхний предел в (4.1) может быть заменен на текущее значение времени:

вых(0= \u {t)Kt-t)dt. (4.2)

Формула (4.2) имеет ясный физический смысл: линейная стационарная цепь, выполняя обработку поступаюшего на вход сигнала, проводит операцию взвешенного суммирования всех его мгновенных значений, существовавших в прошлом . Принципиально важно, что физически реализуемая система ни при каких обстоятельствах не способна оперировать будущими значениями входного сигнала (г < г' < оо).

Замечание 1

Под физической реализуемостью здесь понимается только выполнение рассмотренного выше условия причинности, а не возможность реализовать устройство с данной импульсной характеристикой в виде цепи с сосредоточенными параметрами или каком-либо ином виде.

Переходная характеристика. Пусть на вход линейной стационарной цепи воздействует сигнал в виде единичного скачка сг(г) (см. § 1.1). Выходную реакцию цепи на такой сигнал называют переходной характеристикой и обозначают g(г). Так же, как и им-



пульсная, переходная характеристика физически реализуемой цепи должна быть равна нулю при / < 0.

Функция единичного скачка представляет собой интеграл от дельта-функции. Интегрирование является линейной операцией, поэтому между импульсной и переходной характеристиками суше-стЁует простая связь:

л(0 =

git)= jKtyif

(4.3)

Замечание 2

Если входной сигнал удается представить в виде линейной комбинации функций, результаты прохождения которых через рассматриваемую цепь уже известны, свойства линейности и стационарности позволяют сильно упростить расчет выходного сигнала. В частности, прямоугольный импульс с амплитудой и, занимающий временной интервал от ti до ti, можно представить как умноженную на U разность двух должным образом сдвинутых по времени функций единичного скачка:

sUt) = U(a(t - /i) - u(t - t2)).

Отсюда сразу же следует, что выходной сигнал, т. е. реакция произвольной цепи на прямоугольный импульс, представляет собой разность сдвинутых по времени переходных характеристик:

W = U(git-ti)-git-t2)).

Комплексный коэффициент передачи. Из свойств преобразования Фурье известно, что спектр свертки двух сигналов представляет собой произведение спектров этих сигналов. Таким образом, спектры входного и выходного сигналов линейной цепи связаны друг с другом следующим образом:

вьк ( ) = вх ( )J( ) .

где А'(со) = jh{t)e~*dt - преобразование Фурье импульсной харак-

теристики цепи. Функция А'(сй) называется комплексньш коэффициентом передачи цепи и имеет простую физическую интерпретацию: если на вход цепи поступает гармонический сигнал с частотой ш и ком-

плексной амплитудой А^, то комплексная амплитуда выходного сигнала рассчитывается следующим образом: А^, = к{а)А^ . Часто

пользуются представлением комплексного коэффициента передачи в показательной форме:

А!(сй) = К (а) ехр[Уф5-(со) .

Обе входящие сюда вещественные функции имеют специальные

названия: А'(со) - амплитудно-частотная характеристика (АЧХ),

ф^со) - фазочастотная характеристика (ФЧХ).

Так как импульсная характеристика цепи является, очевидно, вещественной функцией, значения коэффициента передачи для противоположных частот представляют собой комплексно-сопряженные числа:

Из этого следует, что АЧХ цепи представляет собой четную функцию частоты, а ФЧХ - нечетную:

I А'(-со) 1 = (00)1;

фа:(- ) = -ф/:( )

Замечание 3

Из формул, приведенных в этом парафафе, видно, что для цепи, входной и выходной сигналы которой имеют одинаковую размерность, переходная характеристика и комплексный коэффициент передачи являются безразмерными функциями, а импульсная характеристика (как и дельта-функция временного аргумента) имеет размерность частоты.

4.2. РАСЧЕТ ПЕРЕХОДНОЙ И ИМПУЛЬСНОЙ ХАРАКТЕРИСТИК ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

Дифференциальное уравнение цепи. Классическим методом анализа поведения линейной /?1,С-цепи под воздействием того или Иного сигнала является решение описывающего цепь неоднородного линейного дифференциального уравнения А:-го порадка с постоянными коэффициентами. Этот метод изложен во многих руководствах, например в учебнике [6], к которому и следует обращаться за более подробными разъяснениями.



Решение (относительно функции y{t)) неоднородного линейного дифференциального уравнения к-го порядка

(4.4)

где g{t) - возмущаюш;ая функция, иш;ут в виде суммы свободной составляющей jcbCO - решения однородного дифференциального уравнения

+ ак-\-р^ + - + аоУ = 0,

(4.5)

и вынужденной составляющей Увыи(0 - частного решения уравнения (4.4):

y{t) = УсМ + ybmit)-

Решение уравнения (4.5) записывают в виде

(4.6)

где А„ - произвольные постоянные интегрирования, р„ - корни характеристического (алгебраического) уравнения

(4.7)

Если характеристическое уравнение имеет кратный корень р\ кратности т, то решение уравнения (4.5) записывается в виде

т

П = 1П + \

(4.8)

Для получения единственного решения уравнения (4.4) к произвольных постоянных А„ определяют, задавая к начальных условий в момент г = 0. Что касается частного решения, то при выборе в качестве g(0 функции Хевисайда (1.8), т. е. g{t) = const при / > О все

производные

d dt

равны нулю и вынужденная составляюш;ая оп-

ределяется предельно просто.

Располагая найденной таким образом переходной характеристикой цепи, на основании соотношений (4.3) определяют импульсную характеристику и решают задачу определения реакции цепи на произвольный сигнал с помош;ью интефала Дюамеля (4.1).

Для составления дифференциального уравнения используются известные методы теории цепей и соотношения, связывающие токи и напряжения в элементах:

/с(0 = С

U[(t) = L, u,{t) = Rij(t).

Расчет комплексного коэффициента передачи. Чтобы найти комплексный коэффициент передачи цепи, в общем случае следует воспользоваться методом узловых напряжений или контурных токов [6], или же, если это возможно, рассмотреть цепь как (иногда весьма сложный) делитель напряжения. При этом следует использовать комплексные сопротивления (импедансы) /?LС-элементов, определяемые следующим образом:

Zr=R, Zi=j(iiL, Zc=-

усо С

4.3. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОГО ПРОЦЕССА В ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

Пусть на вход линейной стационарной цепи с комплексным коэффициентом передачи А'(со) и импульсной характеристикой h{t)

воздействует случайный процесс xxit). Совокупность реализаций этого процесса, прошедших через цепь и преобразованных ею, образует выходной случайный процесс х^М-

Каждая конкретная реализация входного случайного процесса является детерминированным сигналом, и ее прохождение через линейную стационарную цепь можно анализировать, используя методы, описанные в § 4.1. Здесь же нас будет интересовать, как при этом изменяются статистические параметры случайного процесса, а именно: корреляционная функция, спектральная плотность мощности и плотность вероятности. Рассматриваться будут лишь стационарные в широком смысле случайные процессы с нулевым средним значением.

Начнем с нахождения спектральной плотности мощности выходного случайного процесса. Эта задача легко решается с помощью рассуждений, аналогичных тем, которые использовались в § 3.5 При выводе формулы (3.20). Умножив спектральную плотность

вхг(о>) усеченной по времени реализации процесса Xgxit) на



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 [ 20 ] 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51