комплексный коэффициент передачи цепи А'(ю), получим спектральную плотность этой же реализации на выходе:

Спектр мощности выходного сигнала может быть найден как

И^выхИ=1 т

выхг(ьз)

вхГ(м)( )

Г->00

= lim

/Г (о) =Ж (ш) /Г (со)

Таким образом, спектральная плотность мощности выходного случайного процесса записывается как

HBb,x(cu) = fK (co)

(4.9)

Теорема Винера-Хинчина (см. § 3.6) позволяет определить и корреляционную функцию выходного случайного процесса:

/?Bb,x(т) = VbmxH eJda = J- J Ж (со)eVcB . (4.10)

Обратное преобразование Фурье произведения спектров представляет собой, как известно, свертку соответствующих временньк функций. Спектральная плотность мощности входного случайного процесса Жвх(о)) является спектром его корреляционной функции Rylx).

Квадрат модуля комплексного коэффициента передачи А'(сй) связан преобразованием Фурье с корреляционной функцией импульсной характеристики цепи (см. § 1.12 и формулу (1.78)). Таким образом.

/?вых(т)= Лвх(0л(-ОЛ,

(4.11)

где Bf,{i)= I h{t)h{t - :)dt - вышеупомянутая корреляционная

функция импульсной характеристики цепи.

Дисперсия выходного случайного процесса может быть найдена с помощью формул (4.10) или (4.11) путем подстановки в них значения т = 0:

aLx = вых (0) = -! И^вх (ffl) Ш da = J у? (z)B (т)Л . (4.12)

Пример. Преобразование белого шума. Пусть на вход линейной цепи с импульсной характеристикой h{t) (и соответствующим ей

комплексным коэффициентом передачи к{а)) поступает белый

шум с двусторонней спектральной плотностью мощности Wq. Тогда форма корреляционной функции и спектра выходного случайного процесса определяются лишь характеристиками цепи. Действительно, из (4.9) и (4.11) легко получить, что

/гвых() = и^о^л()-

Для рассматриваемого случая формула (4.12), дающая значение дисперсии, несколько упрощается:

А'(сй) da = Жо5у,(0) = \h{t)dt.

Итак, определение спектральных и корреляционных характеристик стационарного случайного процесса на выходе линейной цепи не связано с какими-либо трудностями. Иначе обстоит дело с определением плотности вероятности выходного случайного процесса. В общем случае, при произвольном законе распределения случайного процесса на входе, это представляет собой весьма сложную задачу. Лишь при нормальном распределении входного процесса задача упрощается, так как при любых линейных операциях с гауссовским процессом его распределение остается нормальным, изменяются лишь функции R(x) и Ща).

Итак, если на вход линейной стационарной цепи воздействует нормальный случайный процесс с нулевым средним, то математическое ожидание выходного случайного процесса будет также нулевым, а его дисперсия может быть найдена с помощью формулы (4.12).

4.4. ЛС-ФИЛЬТРЫ НИЖНИХ И ВЕРХНИХ ЧАСТОТ И ИХ ХАРАКТЕРИСТИКИ

Простейшие цепи, состоящие из резисторов и конденсаторов, широко применякэтся в радиотехнике для преобразования формы колебаний. Рассмотрим свойства двух основных цепей этого типа.

Интегрирующая ЛС-цепь. Рассмотрим схему, представляющую собой последовательное соединение резистора и конденсатора; выходной сигнал снимается с конденсатора (рис. 4.2).

Комплексный коэффициент передачи такой цепи проще всего найти, рассмотрев ее как делитель напряжения:

joy с

1 + JaRC 1 + уот

,(4.13)

Рис. 4.2. Интегрирующая ЛС-цепь

где т = RC - постоянная времени цепи. Амплитудно- и фазочастотная характеристики интегрирующей /?С-цепи имеют следующий вид:

/Г(т) =

9(ffl) = -arctg((uT).

Графики этих функций представлены на рис. 4.3.

Из графика АЧХ видно, что такая цепь пропускает низкие частоты, задерживая высокие, т. е. является фильтром нижних частот (ФНЧ). Частота среза фильтра, на которой модуль коэффициента передачи

составляет l/-s/2 0,707 от максимального

значения, определяется как

1 1

(4.14)

Чтобы найти временные характеристики этой цепи, запишем вначале дифференци-Рис. 4.3. Частотные харак- альное уравнение, связывающее входной и теристикиинтегрируюшей ВЫХОДНОЙ сигналы. Ток, протекающий ЛС-цепи:

я-АЧХ б-ФЧХ через конденсатор, пропорционален произ-

водной по времени от выходного напряжения цепи:

/ с(0 = С- х

(4.15)

Но тот же ток протекает и через резистор, создавая на нем падение напряжения, равное разности входного и выходного напряжений цепи:

вх(0-Цвых(0

(4.16)

Приравнивая (4.15) и (4.16), получим дифференциальное уравнение интегрирующей /?С-цепи:

вх(0 = С

Цвых(0

+ вых(0-

(4.17)

Если параметры цеди и сигнала таковы, что

Ивых(0

вых(0

.Цвых(0

то вх(0 Г-

, или вых(0 - 1 вх(0/-

Таким образом, выходной сигнал примерно пропорционален интегралу по времени от входного сигнала, поэтому такая /?С-цепь и называется интегрирующей. Приближенное интегрирование выполняется тем точнее, чем больше относительная доля высокочастотных составляющих в спектре входного сигнала. Действительно, согласно свойствам преобразования Фурье, при интефиро-вании сигнала его спектр умножается на 1/(/а)). Согласно формуле

(4.13), приближенное равенство А'(и) 1/(уот), обеспечивающее интефирующее свойство цепи, будет справедливо при Он Ь где Ин - нижняя фаничная частота спектра сигнала.

Рассчитаем импульсную и переходную характеристики цепи. Начнем с переходной характеристики, воспользовавшись для этого дифференциальным уравнением (4.17), подставив в него в качестве вх(0 единичную ступенчатую функцию (т. е. Ывх(/) = 1 при t > 0). Таким образом, для нахождения переходной характеристики необходимо решить дифференциальное уравнение

y Bbix(0

.(О = 1

Рйс. 4.4. BpeMCHHbie характеристики интегрирующей /?С-цепи: о - переходная, б - импульсная

при начальном условии Ывых(О) ~ 0.

Общее решение этого линейного неоднородного дифференциального уравнения имеет вид

*вых

Начальное условие Ывых(О) = О позволяет найти константу С: С = -1. Итак, переходная характеристика интегрирующей /?С-цепи имеет следующий вид (рис. 4.4, а):

g(t) =

\-е-/\ t>0, О, / < 0.

(4.18)

Импульсную характеристику можно найти дифференцированием переходной характеристики (см. рис. 4.4, б):

~е-/\ />0,

/<0.

(4.19)

Дифференцирующая RC-цепь. Диаметрально противоположными свойствами обладает цепь, также состоящая из последовательно соединенных резистора и конденсатора, но в случае снятия выходного сигнала с резистора (рис. 4.5).

Комплексный коэффициент передачи найдем, рассмотрев цепь как делитель напряжения:

с

-II-т- j/,. JBC jm

.JO

1 1 + JaRC 1 + уот

, (4.20)

где т = RC - как и раньше, постоянная време-Рис. 4.5. Дифферен- цепи. Амплитудно- и фазочастотная харак-цирующая ЛС-цепь теристики цепи имеют следующий вид:

<рДш). град 90

Рис. 4.6. Частотные характеристики дифференцирующей /?С-цепи: а - АЧХ, 6 - ФЧХ

/Г(т) =

Ф/!:( ) = Y-arctg(fflT).

Графики этих функций представлены на рис. 4.6.

Из графика АЧХ видно, что такая цепь пропускает высокие частоты, задерживая низкие, т. е. является фильтром верхних частот (ФВЧ). Частота среза фильтра, на которой модуль коэффициента передачи составляет l/-s/2 0,707 от максимального значения,

определяется формулой (4.14).

Составим дифференциальное уравнение для этой цепи. Напряжение на конденсаторе равно разности входного и выходного напряжений цепи, поэтому ток, протекающий через него, равен

.(du

kit)-С

Но этот же ток, протекая через резистор, создает выходное напряжение вых(0 = л(0- Таким образом, дифференциальное уравнение цепи имеет вид

+ вых() = -г

dux(t) dt

Если постоянная времени т настолько мала, что в любой момент времени

dBbixit)

вх (t) .

то будет выполняться приближенное равенство Ывых() *

dujt) dt