Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51


arg[Z[co)]


Рис. 4.12. Частотная зависимость модуля (о) и фазы (б) комплексного сопротивления последовательного колебательного контура в окрестностях резонансной частоты

Резонансной характеристикой последовательного контура называется зависимость комплексной амплитуды тока в нем от частоты, нормированная к резонансному значению тока:

Модуль резонансной характеристики имеет вид

(4.31)

(4.32)

его график представлен на рис. 4.13.

Определим полосу пропускания контура по уровню 1 / л/2 0,707. Как видно из (4.16), модуль резонансной характеристики принима-

0У07 \г

ет такое значение при 468 = 1, отсюда £ = ±~. Подставив сюда

выражение, определяющее обобщенную расстройку Е, получим

= ±

Рис. 4.13. Модуль резонансной характеристики колебательного контура в окрестностях резонансной частоты

ое и, следовательно, со = oq ± Это

соотнощение определяет граничные частоты полосы пропускания контура. Ширина полосы пропускания

(4.33)

будет, очевидно, равна А, о

А 0,707 = -Q

Отсюда следует еще одно определение добротности, удобное для ее экспериментального измерения:

1-1-rvw

(4.34)

Рис. 4.14. Последовательный колебательный контур, включенный в виде четырехполюсника

А 0,707 А/о,707

Последовательный колебательный контур как четырехполюсник.

Рассмотрим теперь последовательный контур как делитель напряжения, выходное напряжение которого снимается с одного из реактивных элементов, например с емкости (рис. 4.14).

Расчет коэффициента передачи по напряжению для такой цепи не представляет сложностей:

= -- 1-- - (4 35)

-+ ycuL + r 1-со1С + >гС j co jor < fflo Р

где параметры coq и р имеют тот же смысл, что и раньше.

Произведя аналогичные сделанным ранее упрощения, можно получить приближенное выражение для коэ<)фициента передачи в окрестностях резонансной частоты шо:

1 + J2Q

Лю (йо

(4.36)

где Лео = со - Юо-

Из полученной формулы видно, что форма АЧХ совпадает с фафиком резонансной характеристики, показанным на рис. 4.13, а модуль коэффициента передачи данной цепи на резонансной частоте равен Q. Фазовый сдвиг, вносимый цепью на резонансной частоте, равен -90°.

Замечание

На резонансной частоте, т. е. при Асо = О, формула (4.36) дает точное значение коэффициента передачи. Однако при анализе точной формулы (4.35) оказывается, что максимальное значение модуля коэффициента передачи достигается не



на резонансной частоте контура, а в стороне от нее, при смещении на (oq/IQ вниз (если выходное напряжение снимается с конденсатора) или вверх (если выходное напряжение снимается с катушки индуктивности) от резонанса. Модуль коэффициента передачи при этом равен

Из формул видно, что эти отклонения могут стать заметными на практике только для контуров с очень низкой добротностью.

Чтобы продемонстрировать альтернативный способ расчета вре-

менньк характеристик, получим их для данной цепи не с помощью дифференциального уравнения, как это было сделано ранее для /?С-цепей, а через обратное преобразование Фурье комплексного коэффициента передачи (4.35). Для этого прежде всего следует представить эту формулу в виде суммы простейших дробей:

Щ too

(О г

Шо р

Теперь, зная, что спектральная функция вида \/{а + ]ш) соответствует одностороннему экспоненциальному импульсу ехр(-or), существующему при / >0 (см. § 1.5 и формулу (1.46)), можно сразу записать импульсную характеристику:

2ysid

40 J

rexri

siri

Для случая контура с высокой добротностью (0 1) полученное выражение может быгь приближенно представлено в следующем виде:

h{t) ~ Шо ехр

sin(uoO

Чтобы получить переходную характеристику, проинтефируем полученное выражение и учтем сделанное предположение о величине Q:

g(t)

1 + 40 1 + 40

-(20 С08(шо0 + 51п(ШоО)

= 1 - exd

I 20J

С08(ШоО-

Графики переходной и импульсной характеристик колебательного контура показаны на рис. 4.15.



а б

Рис. 4.15. Временные характеристики колебательного контура: о - переходная, б - импульсная



Рис. 4.16. Параллельный колебательный контур

Параллельный колебательный контур. Эта цепь представляет собой параллельное соединение тех же элементов, что и ранее: катушки индуктивности, конденсатора и резистора (рис. 4.16). Входной сигнал на сей раз создается источником тока, а выходным сигналом будем считать напряжение на элементах этой параллельной цепи. Таким образом, коэффициентом передачи в данном случае будет являться величина, обратная комплексной проводимости цепи:

Х:(ю) = -

Выкладки, аналогичные случаю последовательного контура, приводят к следующему результату:

Обобщенная расстройка е определяется здесь так же, как и раньше, а добротность для параллельного контура рассчитывается по-другому:

0 Щс Р

Резонансная характеристика в данном случае определяется как зависимость напряжения на элементах контура от частоты, нормированная к резонансному значению. Она записывается так же, как и для последовательного контура (см. формулы (4.31) и (4.32)). Формулы (4.33) и (4.34), дающие связь между частотными параметрами контура и его добротностью, также сохраняют силу.

Пример. Воздействие амплитудно-модулированного сигнала на колебательный контур. Пусть на последовательный колебательный контур с параметрами г, L, С (см. рис. 4.11) подано напряжение в виде АМ-сигнала с однотональной модуляцией (несущая частота шо, частота модулирующего сигнала Q, коэффициент модуляции /и - см. § 2.2 и формулу (2.3)), причем несущая частота совпадает с резонансной частотой контура. Проанализируем ток, который будет протекать в контуре.

Прежде всего убедимся, что этот ток тоже будет представлять собой АМ-сигнал с однотональной модуляцией. Как было показа-138

но в гл. 2 (см. (2.3) и рис. 2.3), спектр такого сигнала содержит три гармонические составляющие на частотах шо и юо ± Q. Каждой из них соответствует гармоническая составляющая тока на той же частоте, комплексная амплитуда которой связана с комплексной амплитудой напряжения согласно закону Ома:

/=C Z( ).

Комплексное сопротивление последовательного контура на интересующих нас частотах легко находится из формулы (4.30) с учетом того, что на резонансной частоте обобщенная расстройка е равна нулю, а на боковых частотах она составляет П/юо:

Z(fflo) = r,

Z(fflo ± Q) = г

1±У20

На рис. 4.17 показаны спектрограммы напряжения и тока в колебательном контуре, полученные с учетом приведенных соотношений.

Как видно из рисунка, амплитудный и фазовый спектры тока, протекающего через последовательный колебательный контур, со-

Напряжение 10

Т 2

о CDp-n CDq CDo+П

CD о

Ток

Фо + Фа

Фо + Фп,+arctg

. 20П 2.0 Фо-Фа-агсгв-з^

Юр юо+П

Рис. 4.17. Спектры тока и напряжения при воздействии на последовательный колебательный контур АМ-сигнала с однотональной модуляцией



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 [ 23 ] 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51