Замечание 4

Реализовать отрицательную обратную связь в данной схеме можно, добавив в цепь эмиттера дополнительный резистор Roc (см. рис. 4.19, б). Протекающий через него ток пропорционален выходному напряжению усилителя, в результате входное напряжение транзистора формируется как разность напряжения входного сигнала и напряжения обратной связи.

Уменьшение искажении. Использование ООС дает возможность уменьшить возникающие в усилителе искажения сигнала - фон, внутренние шумы, высшие гармоники и т. п. Такие искажения можно представить как добавление к выходному сигналу канала прямой передачи внешней помехи п(0 (рис. 4.21). В отсутствие ОС такой паразитный сигнал беспрепятственно попадает на выход устройства, но при введении в схему отрицательной ОС ситуация меняется. Теперь сигнал помехи, пройдя по петле обратной связи, приобретает фазовый сдвиг, равный 180°, и суммируется сам с собой в противофазе, уменьшая уровень помехи на выходе. Действительно, коэффициент передачи для помехи можно легко рассчитать, если заметить, что сигнал мп(0 попадает на выход через охваченную ООС схему, в которой усиление в канале прямой передачи отсутствует (т. е. коэффициент передачи КПП равен 1), а коэффициент передачи цепи ОС равен РоА^. Согласно (4.41) коэффициент передачи для помехи будет равен

1+Роо

т. е. в (1 + РоАЬ) раз меньше, чем при отсутствии ООС. Такой способ уменьшения искажений широко используется на практике.

ujt)p{t) КПП

S,{t)

КОС

Рис. 4.21. Структурная схема устройства с обратной связью с учетом воздействия внешних помех

4.8. УСЛОВИЯ УСТОЙЧИВОСТИ ЛИНЕЙНОЙ ЦЕПИ

Линейная цепь с постоянными параметрами описывается неоднородным линейным дифференциальным уравнением вида

d u.

+ а

d -u

dt du.

ВЫХ

+... + Й1

+*m-l

d -\i

d -u

dt du

- + %и

ВЫХ

.m-2

+ - + *l- +Vbx.

где Й, и bi - постоянные вещественные коэффициенты пп>т.

Решение этого неоднородного дифференциального уравнения в самой общей форме складывается, как известно, из общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения. Частное решение неоднородного уравнения связано со входным воздействием Ывх(0 и представляет собой вынужденные колебания, тогда как общее решение однородного уравнения соответствует свободньш колебаниям цепи.

При отсутствии входного сигнала в цепи существуют лишь свободные колебания, подчиняющиеся однородному линейному дифференциальному уравнению

d u.

- + а

d -\u

d -u

ВЫХ , ,. n

Цепь называется устойчивой, если свободные колебания при любых начальных условиях являются затухающими, т. е. если справедливо соотношение

lim Мвых(О = 0.

Общее решение однородного линейного дифференциального уравнения при отсутствии кратных корней, как известно, имеет вид

вь,х(0=1:Ле>

гдеу4,- вещественные постоянные, ар,- корни характеристического уравнения

апР' + ап-\Р ~ + ап-гР +... + а, + Oq = о

Для устойчивости цепи необходимо, чтобы входящие в решение однородного уравнения экспоненты были затухающими. А это, в сюю

очередь, означает, что корни р\, р2, р„ характеристического уравнения должны быть либо отрицательными действительными числами, либо комплексными величинами с отрицательными действительными частями. Из этих простых физических представлений вытекает следующий фундаментальный критерий устойчивости любых линейных систем: система устойчива, если действительные части всех корней ее характеристического уравнения отрицательны.

Замечание 1

При наличии у характеристического уравнения кратных корней в формуле, описывающей общее решение однородного дифференциального уравнения, появляются слагаемые

вида exp(/J,-0, тек- целые числа в диапазоне от

единицы до степени кратности корня р/. Такие слагаемые также являются затухающими при Re(p,) < О, так что приведенные ранее рассуждения сохраняют силу.

Заметим, что левая часть характеристического уравнения представляет собой знаменатель передаточной функции цепи, записанный в операторной форме:

Kip)JP -m-.P ----P-o, а„р +a ip +... + aiP + aQ

Таким образом, корни характеристического уравнения являются полюсами передаточной функции К{р) этой цепи.

Отсюда следует, что сформулированные условия отрицательности действительных частей корней равносильны следующему положению: для устойчивости цепи необходимо, чтобы полюсы передаточной функции К{р) лежали в левой полуплоскости комплексной переменной р.

В тех случаях, когда цепь описывается дифференциальным уравнением высокого порядка, исследование корней характеристического уравнения, необходимое для решения вопроса об устойчивости системы, является сложной задачей.

Однако ее можно решить, анализируя соотношения между коэффициентами уравнения без определения самих корней уравнения. Это позволяет сделать теорема Гурвица, которая утверждает, что для того, чтобы действительные части всех корней уравнения

й„х +а„ Л: ~ +ап 2х'~ + - -aiX + aQ = О

с действительными коэффициентами и aQ> о были отрицательными, необходимо и достаточно, чтобы были положительными все определители Ai, А2, А„, составленные из коэффициентов уравнения йо, о\, а„ по следующей схеме:

-3 -5 ,1-7

On п-2 п-4 п-6

О а„ 1 й„ з fl 5

О й„ й„ 2 fl 4

И т. д.

Сформулированный алгебраический критерий устойчивости часто называют критерием Рауса-Гурвица. При составлении определителей по указанной схеме коэффициенты с отрицательными индексами заменяются нулями.

Нетрудно видеть, что все последовательные определители являются главными диагональными минорами определителя А„. Так как последний столбец определителя А„ содержит лишь один отличный от нуля элемент йо. расположенный на главной диагонали, то выполняется равенство

Аи = л

Отсюда следует, что в соответствии с теоремой Гурвица условия устойчивости можно сформулировать в виде следующих неравенств:

Ai > О, А2 > О, А„-, >0,а„> 0.

Возникновение нарастающих собственных колебаний в электрических цепях возможно лишь тогда, когда в составе цепи, помимо пассивных элементов L, С, R, содержатся активные элементы, передающие в цепь часть энергии от внешних источников. Распространенной моделью такого активного элемента служит резистор с отрицательным сопротивлением. Система, содержащая такой элемент, может самопроизвольно возбуждаться, если отрицательное сопротивление элемента превосходит (по модулю) некоторое критическое значение.

Замечание 2

Речь об использовании элементов с отрицательным диф-ференциальньш сопротивлением для генерации гармонических колебаний пойдет при анализе общих энергетических соотношений в автоколебательной системе в § 8.1 и при обсуждении автогенераторов с внутренней обратной связью в § 8.8.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

ГЛАВА 5

1. Каковы основные характеристики линейной цепи во временной и спектральной областях? Как они связаны между собой? Почему?

2. Как связаны детерминированные сигналы на входе и выходе линейной цепи во временной области?

3. Как связаны энергетические спектры случайных процессов на входе и выходе линейной цепи?

4. Может ли интервал корреляции случайного процесса на выходе линейной цепи быть:

больше, чем на входе,

таким же, как на входе,

меньше, чем на входе?

5. Какую характеристику случайного процесса на выходе линейной цепи и как находят при временном подходе?

6. Запишите выражение для входного сопротивления последовательного колебательного контура. Изобразите его АЧХ и ФЧХ.

7. Какая линейная цепь называется устойчивой? Какие вам известны критерии устойчивости?

ПРИНЦИПЫ ОПТИМАЛЬНОЙ ЛИНЕЙНОЙ ФИЛЬТРАЦИИ СИГНАЛА НА ФОНЕ ПОМЕХ

Выделение сигнала из помех является одной из важнейших задач, которые необходимо решить при разработке практически любой системы передачи информации. Критерий качества такого выделения сильно варьируется в зависимости от назначения системы. Так, при передаче аудио- или видеосигнала важно обеспечить минимально возможное искажение его формы, а в рациолокационной аппаратуре - установить факт наличия отраженного сигнала и определить момент его прихода.

Помимо критериев качества, различными являются также наши знания о структуре полезных сигналов и шумов и, соответственно, используемые для их представления математические модели. Поэтому не существует единственно оптимального устройства, во всех случаях обрабатывающего сигнал наилучшим образом. Понятие оптимальности имеет смысл только в связи с конкретной постановкой задачи, т. е. для конкретной комбинации критерия качества, моделей сигналов и шумов.

В данной главе рассматриваются некоторые классические задачи обработки сигналов и соответствующие оптимальные фильтры.

5.1. СОГЛАСОВАННАЯ ФИЛЬТРАЦИЯ ДЕТЕРМИНИРОВАННОГО СИГНАЛА

Пусть форма обрабатываемого сигнала заранее известна, и нам нужно определить лишь факт присутствия сигнала на фоне шумов В этом случае фильтр должен вместо сохранения формы сигнала