Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

обеспечить его максимальный (по сравнению с шумом) уровень на выходе. Критерием качества обработки в данном случае может служить отношение сигнал/шум, определяемое как

I т I

(5.1)

где HOlmax - максимальное абсолютное значение сигнала, а - среднеквадратичное значение шума.

Итак, теперь можно сформулировать задачу об оптимальной фильтрации детерминированного (полностью известного) сигнала. Пусть на вход фильтра поступает аддитивная смесь сигнала и шума:

5вх(0 = 5,(0 + И,(Г),

где51(/)- детерминированный сигнал, который нужно обнаружить; n\{t) - стационарный нормальный центрированный белый шум с двусторонней спектральной плотностью мошности Wq. На выходе линейного фильтра также будет присутствовать аддитивная смесь сигнала 52(0 и шума 2(0-

W(0 = 52(0 + 2(0-

Требуется найти такой линейный фильтр, который обеспечит в некоторый момент времени Го максимальное отношение сигнал/шум на выходе:

I 52(01 max

-> max.

(5.2)

Как было показано в §4.1, детерминированная составляюшая выходного сигнала фильтра в момент (q может быть рассчитана по следующей формуле:

52(о)= 5,(т)Л(Го -т)А,

где Л(0 - импульсная характеристика фильтра.

В курсе математики доказывается неравенство Буняковского, согласно котооому

\f(x)g(x)dx а

<

\f\x)dx а

\gHx)dx а

(5.3)

(5.4)

причем максимум левой части (равенство) достигается только в том случае, если функции/(х) и g{x) пропорциональны друг другу:

g{x) = к Ах). (5.5)

Применив неравенство (5.4) к правой части формулы (5.3), имеем

51(т)Л(Го-т)Л

s1{x)dx \h{tQ-x)dx

Равенство, согласно (5.5), будет достигаться, если

h{tQ - О = i(0, (5.6)

ще/1- постоянный коэффициент, имеющий размерность В~с~= = Гц/В (ведь импульсная характеристика имеет размерность частоты, т. е. 1/с). Выполнив замену переменной Г = Го - -с, формулу (5.6) можно переписать в виде

Л(0 = 51(0 - О-

(5.7)

Фильтр, обладающий такой импульсной характеристикой, называется согласованным фильтром для сигнала s\(t). Как видно из (5.7), импульсная характеристика согласованного фильтра представляет собой сдвинутую на Го и зеркально перевернутую во времени копию входного сигнала (рис. 5.1).

Если входной шум И|(0 является белым, то согласованный фильтр оказывается также и оптимальным, т. е. реализующим условие (5.2). С доказательством этого факта можно ознакомиться, например, в [3, гл. 13].

Поскольку импульсная характеристика физически реализуемой цепи должна равняться нулю при Г < О, значение Го не может быть меньше длительности входного сигнала, а так как Го соответствует



Рис. 5.1. Сигнал (с) и импульсная характеристика согласованного с ним фильтра (б)



максимальному выходному сигналу, этот максимум достигается после окончания воздействия полезного сигнала s\{t) на вход фильтра, т. е. для обеспечения максимального отклика фильтр должен обработать весь входной сигнал.

Получим выражение для комплексного коэффициента передачи согласованного фильтра. Преобразование Фурье импульсной характеристики (5.7) дает

ВД= AsitQ-Oe-Jdt.

- 00

Используем замену переменной t=tQ-t.C учетом этого ад = 7/1у,(Г')е->( ->(-Л') = Ae-J J5,(r )e>>.

00 -00

Получившийся интеграл представляет собой спектральную функцию сигнала S](t) на частоте -со. Но согласно свойствам спектра вещественного сигнала Si-a) = S*(а), поэтому окончательно для коэффициента передачи согласованного фильтра имеем

к(а) = AS* (a)e--i*o.

(5.8)

Полученной формуле можно дать наглядную физическую трактовку. Рассмотрим, какие преобразования производит согласованный фильтр с фазовым спектром сигнала. Пусть фазовый спектр входного сигнала равен фДсо):

аг£5,(и) = ф,((в).

Согласно (5.8) фаза коэффициента передачи согласованного фильтра может быть представлена как

Ф/ш) = -ф1(а) - atQ.

Таким образом, фазовый спектр выходного сигнала будет иметь

вид

ф2((0) = ф1(С0) + фх((0) = -соо,

а это означает, что в момент (q все спектральные составляющие сигнала складываются на выходе синфазно, образуя пик выходного отклика. Это называется компенсацией начальных фаз. Механизм компенсации начальных фаз иллюстрируется на рис. 5.2.


Рис. 5.2. Механизм компенсации начальных фаз при согласованной фильтрации

Модуль коэффициента передачи, как следует из (5.8), повторяет форму модуля спектральной плотности сигнала 5) (Г):

= А

,(03)

Таким образом, коэффициент передачи велик на тех частотах, где сосредоточена основная часть энергии полезного сигнала, и мал там, где мала спектральная плотность. Сочетание компенсации начальных фаз с увеличением амплитуды сильных спектральных составляющих сигнала и обеспечивает оптимальность согласованного фильтра для регистрации сигнала на фоне белого шума.

5.2. ОТНОШЕНИЕ СИГНАЛ/ШУМ НА ВХОДЕ И ВЫХОДЕ СОГЛАСОВАННОГО ФИЛЬТРА

Определим отношение сигнал/шум на входе и выходе согласованного фильтра, воспользовавшись определением (5.1). В качестве модели для n\(t) мы использовали белый шум, дисперсия которого бесконечно велика, поэтому

5,(0

ai->coH С/Швх =

->0

Для того чтобы найти выходное отношение сигнал/шум, необходимо предварительно определить вид полезного выходного сигнала. Сигнал на выходе линейной стационарной цепи с импульсной характеристикой h(i) определяется как

S2(t)= ]s,{f)Kt-f)df.



Подставим сюда выражение (5.7) для импульсной характеристики: 52 (О = 15, {Г )ASi (tQ-t + f )df = A 15, (/) A, {f-{t - to))df = AB, (t-to),

- oo -00

где Bg (t) = I 5i(r)5i (t - z)dt - корреляционная функция сигнала s\{t).

Таким образом, выходной сигнал согласованного фильтра представляет собой (с точностью до масштабного множителя А) сдвинутую во времени на корреляционную функцию сигнала 5, (Г). Как известно, максимальное значение корреляционной функции детерминированного сигнала достигается при -с = О и равно его энергии:

55,(т) ах = 55,(0) = £:

где £, = \si{t)dt - энергия сигнала s,(Г). Итак, максимальное

значение сигнала на выходе согласованного фильтра достигается при / = о и равно АЕ].

Теперь необходимо рассчитать уровень шума на выходе. Спектральная плотность мошности шума на выходе линейной цепи может быть получена путем умножения спектральной плотности мошности входного шума на квадрат модуля коэффициента передачи:

И^2(а) = И^о| К(а) f = WqA 5,(и)

где Wq - двусторонняя спектральная плотность мошности входного белого шума. Дисперсия определяется через интеграл от выходного спектра шума:

1 W2(a)doy = - 1 И^о^ Slim) da = - WqA \ 5,(и)

Ho согласно равенству Парсеваля (1.57)

I 6 , (со) da = \sl(t)dt = E.

-00 -00

Таким образом, окончательно для среднеквадратичного значения шума получаем

Теперь можно получить выходное отношение сигнал/шум:

(5.9)

Итак, отношение сигнал/шум на выходе согласованного фильтра не зависит от формы обрабатываемого сигнала, а определяется лишь его энергией и спектральной плотностью мошности входного белого шума.

Пример. Сигнал в виде несимметричного трапециевидного импульса (рис. 5.3, а) обрабатывается с помошью согласованного фильтра. Спектральная плотность мошности белого шума равна = З-Ю В^с, половина длительности сигнала Т = 9 мкс. Определим, при какой амплитуде импульса на выходе фильтра будет достигнуто отношение сигнал/шум, равное 10.

Для решения данной задачи прежде всего необходимо определить энергию обрабатываемого сигнала, а это, в свою очередь, требует аналитической записи сигнала:

5вх(0 =

Ut/T, 0<t<T,

и, Т <t<lT,

О, в остальных случаях.

Теперь можно рассчитать интересующую нас энергию:

[/2 Р

00 TfjTf\T- 2Т ,

вх= 15bx(0*=J 1 dt\Udt =

-00 J Т J

+ U4 =


Рис. 5.3. Трапециевидный импульс (a) и импульсная характеристика согласованного с ним фильтра (б)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 [ 26 ] 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51