|
Главная Теоретические основы радиотехнологии 1 2 [ 3 ] 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 \c,i 4п 2п .2п п 2п 2jr Г Г т 47г 0> т Рис. 1.4. Амплитудный спектр последовательности прямоугольных видеоимпульсов = 6) С, =- I (1.26) такчто Со =., С, Сгд... =0, Q =-f, С5 = f, ... Разложение представляется следующим образом: 571 зтг 71 2 71 зл Каждая пара составляющих вида - (е +е^Л преобразует- ся по формуле Эйлера: и ряд (1.27) может быть записан в виде Sr{t) = - + cosco? --со8 3ш|Г +-cos5cu? --со8 7ш|Г + .... (1.28) 71 4 3 5 7 J Так как последовательность на рис. 1.3 является четным сигналом, представление (1.28) можно рассматривать и как ряд Фурье в форме (1.16) с коэффициентами bj=Q, и как ряд Фурье в форме (1.19). В последнем случае фазовый спектр ф/t обеспечивает соответствующие знаки перед гармониками разложения, поэтому принимают ф| = О, фз = -%, ф5 = -271, ф7 - -Зл, так что
Рис. 1.5. Меандр S{t) = 1- + cos(fl? + -!-cos(3(fl? - 7l)+ -cos(5(fl? - 27l) + ...I. 7t [4 3 5 J В качестве упражнения читателю рекомендуется самостоятельно найти разложение в ряд Фурье для сигнала, изображенного на рис. 1.5. Такой сигнал также часто используется в различных радиотехнических приложениях и называется меандром. Аналитически формирующий меандр Sy{t) представительный сигнал последовательности fit) на интервале Т может быть записан так: \IJ 2 ,-(0 = 4 4 4 4 Легко видеть, что рассмотренная последовательность прямоугольных видеоимпульсов получается суммированием меандра с постоянной составляющей (7/2, которой обязан своим появлением в разложении (1.27) член Со = U/2. Заметим, что значения коэффициентов разложения последовательности прямоугольных видеоимпульсов (при q= 2) к меандра убывают по закону \/к. Последовательность треугольных видеоимпульсов. Рассмотрим периодический сигнал, состоящий из треугольных видеоимпульсов (рис. 1.6). Аналитическое выражение для импульса последовательности: ,-(0 =
(1.29)
Рис. 1.6. Последовательность треугольных видеоимпульсов Вновь обратившись к ряду Фурье в комплексной форме (1.21), выпишем выражение для коэффициентов Q : (7-) 2 \ + -t т О 2 1--/ е т и т 9 о ., о ., 9 т/2 т/2 . ] -t/2 -t/2 0 0 J После вычисления интегралов и несложных, но громоздких выкладок (которые читателю предлагается проделать самостоятельно), получим sin-- Ux IT . к n sin-- . (1.30) Положив q = I, чтобы длительность треугольного видеоимпульса (1.29) по основанию т совпадала с периодом последовательности Т, получим выражение для коэффициентов ряда (1.21): и sin к - Обнаруживается связь между спектрами сигналов (1.24) и (1.29); но значения коэффициентов разложения последовательности тре- угольных видеоимпульсов (1.29), определенных, по аналогии с (1.28), суммированием соответствующих пар составляющих ряда Фурье в комплексной форме, SriO = - 1- + coscui? + cosScui? + -cos5(fl/ + - coslait + ... n [4 32 52 j2 убывают no закону l/k, т. e. существенно быстрее коэффициентов разложения (1.28). Это связано с формой треугольного видеоимпульса: в нем отсутствуют скачки или разрывы 1-го рода. 1.4. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ И ЕГО СВОЙСТВА В основе спектрального анализа непериодических сигналов лежат прямое и обратное F{s{t)} = (ш) = ]s{t)e-J dt f-{y((u))= s(t) = J- ]s{a)eJ da (1.31) (1.32) преобразования Фурье. Функцию S(co) называют спектральной функцией (иногда говорят спектральная плотность или просто спектр ) сигнала s{t). Установлено, что преобразования (1.31) и (1.32) существуют, если сигнал s(t) удовлетворяет условиям Дирихле (по аналогии с сигналом r{t) на периоде, см. § 1.2), к которым добавляется требование абсолютной интегрируемости сигнала: J I s{t) IЛ < 00 . Спектральная функция в общем случае является функцией комплексной и с учетом формулы Эйлера е-- =cosa± у sin а может быть представлена как 5(ш) = \s{t) cos wrdr - j \s{i) sin atdt = -00 -00 = Re S{(u) + J Im (cu) = /1(ш) - jB(a). CL33) Определенный интеграл от нечетной функции в симметричных пределах равен нулю. Представляя в (1.33) сигнал s{t) в виде суммы четной и нечетной функций (sit) = 5чет(0 + Унечет(О), легко видеть, что косинусоидальное преобразование Фурье /1(сй) определяется четной, а синусоидальное преобразование Фурье В{ш) - нечетной частями сигнала s{t). Отсюда следует практически полезный вывод: преобразование Фурье четной функции s{f) всегда вещественная, нечетной функции s{t) - всегда мнимая функции частоты ш. Далее, рассматривая обратное преобразование Фурье {/!((£)) - У5(ш)}, можно показать, что /1(ш) - четная, а £(ш) - нечетная функции частоты ш: А{т) = Л(-ш), 5((й) = -£(-ш). Доказательство предлагается самостоятельно провести читателю (следует учесть, что обратное Фурье-преобразование 5(03) должно быть вещественной функцией времени). Отсюда вытекает еще одно важное свойство 8{<л): S*{is,) = [аЦ - уф)}* = Л(ш) + у5{ш) = А{- ш) - jB{- (й) = S{- w) ,(1.34) т. е. для нахождения функции, комплексно сопряженной исходной спектральной, достаточно поменять знак аргумента ш. Спектральную функцию можно представить в показательной форме: (ш) = i(cD) ехруф(ш). (1.35) Здесь i((fl) = f/l2((fl)+fi2()>Q есть амплитудная спектральная функция (часто, несмотря на неточность термина, говорят амплитудный спектр ), а ф(ш) = arg5((fl) = arctg Im (ц) Rei((fl) есть фазовая спектральная функция ( фазовый спектр или спектр начальньСх, т. е. соответствующих моменту времени / = О, фаз). Очевидно, что амплитудный спектр 5((й) является четной, а фазовый спектр ф(ш) - нечетной функциями ш. Принимая это во внимание и подставляя (1.35) в (1.32), получим соотношение -со О ш^ + ф(ш)]й?ш, (1.36) иллюстрирующее физический смысл спектральной функции: сигнал s{t) представляется в виде суммы бесконечно большого числа гармонических составляющих с бесконечно малыми ам- плитудами непрерывно заполняющих интервал час- тот от О до оо; начальные фазы этих составляющих заданы функцией ф((й), а частотная зависимость плотности бесконечно малых амплитуд описывается функцией 5(сй) . Второй интеграл в соотношении (1.36) поясняет смысл отрицательных частот, существование которых прямо предполагает выражение (1.32) (см. пределы интегрирования в упомянутой формуле): их появление связано с характером прямого и обратного преобразований Фурье как математических операций и физически нереально. Эти соображения полезно сравнить с результатами, полученными в §§ 1.2 и 1.3. Размерность спектральной функции 5(00) есть размерность сигнала, умноженная на время; так что, если размерность s{f) - вольты, то [5(ш)] = Be = В/Гц. Симметрия преобразований Фурье. Пусть четному сигналу s(i) соответствует вещественный спектр 5((й) = 5(ш), который, в свою очередь, будет являться четной функцией частоты ш; тогда сигналу 5(0 должен соответствовать спектр 27i5((fl). Именно взаимозаменяемость аргументов ш и входящих в ядро ехр(±/(йО, и подразумевают, говоря о симметрии пары интегральных преобразований (1.31) и (1.32). Симметрия становится очевидной, если в рассмотрение введены комплексные сигналы. Связь спектра периодической последовательности и спектральной функции одиночного импульса. Сравнивая выражение (1.22) для коэффициентов ряда Фурье в комплексной форме т C=Ur{t)e-Jdt о и формулу (1.31) прямого преобразования Фурье или спектральной функции представительного импульса периодической последовательности КО |