Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

Замечание 1

Замечание 2

В \данной главе термины цифровой фильтр и дискретный фильтр будут использоваться как синонимы, хотя, строго говоря, речь пойдет о дискретных сигналах и фильтрах, поскольку эффекты, связанные с квантованием, в большинстве случаев не будут приниматься во внимание - о них лишь кратко пойдет речь в § 6.2.

Обобщенная структура системы цифровой обработки сигналов приведена на рис. 6.2. На вход поступает аналоговый сигнал 5вх(0-Его временная дискретизация и квантование по уровню производятся в аналого-цифровом преобразователе (АЦП). Процессы дискретизации и квантования являются независимыми Друг от друга, но они, как правило, выполняются внутри одного блока. Выходным сигналом АЦП является последовательность чисел, поступающая в цифровой процессор ЦП, осуществляющий требуемую обработку.-Процессор осуществляет над входными отсчетами различные математические операции; ранее полученные отсчеты и промежуточные результаты могут сохраняться в памяти процессора для использования в последующих вычислениях. Результатом работы процессора является новая последовательность чисел, представляющих собой отсчеты выходного сигнала. Аналоговый выходной сигнал 5вых(0 восстанавливается по этой последовательности чисел с помощью цифро-аналогового преобразователя (ЦАП). Напряжение на выходе ЦАП имеет ступенчатую форму (см. рис. 6.2); при необходимости оно может быть преобразовано в плавно меняющийся выходной сигнал с помощью сглаживающего фильтра Ф.

Устройства, реализуемые с помошью структуры, аналогичной представленной на рис. 6.2, могут иметь самый разнообразный характер. В цифровой форме можно создавать фильтры, анализаторы спектра, нелинейные преобразователи сигналов и многое другое.

АЦП

ЦАП

Ф


{Хо, х„ Xg, ...} {уо, у„ уг. ...}



Рис. 6.2. Структурная схема системы цифровой обработки сигналов

Следует отметить, что использование входных и выходных сигналов в аналоговой форме (и, следовательно, наличие АЦП и ЦАП) не всегда является необходимым. Так, при реализации цифрового генератора сигналов не нужен входной аналоговый сигнал, а ЦАП может отсутствовать, если конечный результат необходим в цифровой форме.

К достоинствам цифровой обработки сигналов относятся высокая гибкость и точность выполнения преобразований сигнала. Основным недостатком является ограниченное быстродействие; впрочем, по мере развития технологии рабочие частоты цифровых устройств постоянно возрастают.

6.2. ШУМЫ КВАНТОВАНИЯ

Как было отмечено в §6.1, при представлении отсчетов дискретного сигнала в виде чисел с ограниченной разрядностью происходит их округление. Разность между исходным и округленным значениями называется шумом квантования.

Анализ вопросов, связанных с шумами квантования и ошибками округления в цифровых системах обработки сигналов, весьма сложен (см., например, [7]). В этом параграфе будут представлены лишь несколько положений общего характера.

В качестве иллюстрации процесса квантования на рис. 6.3 показаны (без дискретизации по времени) гармонический сигнал s{t), результат его квантования 5(0 и возникающий при этом шум e{t) = s{i) - 5к(/). Очевидно, что значения шума квантования лежат в следующих пределах:

2 2

где А - расстояние между соседними уровнями квантования, т. е. разность между ближайшими возможными значениями квантованного сигнала.

В большинстве случаев можно считать e(t) случайным процессом, имеющим равномерное распределение вероятности в указанных пределах. Такой случайный процесс имеет нулевое среднее значение и дисперсию, равную aV12.




\ A Л


e(f)

Рис. 6.3. Процесс квантования гармонического сигнала Замечание 1

На рис. 6.3 предполагалось, что при квантовании производится округление значений уровня сигнала. В реальных АЦП вместо этого может использоваться усечение, т. е. округление в сторону меньшего значения. В этом случае шум квантования лежит в диапазоне 0...Д, его среднее значение равно Д/2, а дисперсия, как и в случае округления, составляет д2/12.

После дискретизации шум квантования представляет собой последовательность чисел е{кТ), образующую дискретньш случайный процесс. Во многих случаях отсчеты этой последовательности можно считать некоррелированными друг с другом.

Замечание 2

О дискретных случайных процессах речь пойдет в § 6.15.

Пример. Отношение сигнал/шум при квантовании гармонического сигнала. Пусть квантованию подвергается гармонический сигнал с амплитудой А. Определим отношение сигнал/шум, разделив эту амплитуду на среднеквадратическое значение шума квантования:

= л/з.

/Д /12

где Л' = 2А/А - число уровней квантования, укладывающихся в размахе сигнала.

АЦП, имеющий q двоичных разрядов, обеспечивает N - 2 уровней квантования. Если размах сигнала соответствует полному рабочему диапазону АЦП, то отношение сигнал/шум равно

С/Ш = 11S.

Если выразить этот результат в децибелах, получится простая формула, показывающая связь между числом двоичных разрядов, используемых для представления отсчетов сигналов, и максимально достижимым в этом случае отношением сигнал/шум:

С/Ш дБ = 201g(2*V3) = 20?lg2 + 101g3 6? + 4,77 дБ . Замечание 3

Шум квантования - не единственная проблема, связанная с конечной разрядностью используемых чисел. Так, неизбежное округление разнообразных коэффициентов, используемых в алгоритмах цифровой обработки сигналов, приводит к тому, что параметры фильтров и других устройств отличаются от желаемых, причем возможны ситуации, когда эти отличия весьма существенны. Кроме того, из-за округления промежуточных результатов может происходить накопление вычислительных погрешностей, также искажающих конечный результат.

6.3. РАЗЛОЖЕНИЕ СИГНАЛОВ В ОБОБЩЕННЫЙ РЯД ФУРЬЕ

Замена непрерывного сигнала последовательностью его дискретных отсчетов в общем случае неизбежно ведет' к потерям информации - ведь при этом ничего нельзя сказать о поведении сигнала в промежутках между отсчетами. Однако существует класс непрерывных сигналов, которые могут быть точно восстановлены по своим дискретным отсчетам. Для рассмотрения методики такого восстановления необходимо познакомиться с разложением сигналов в обобщенный ряд Фурье.



Разложением в обобщенный ряд Фурье называется представление сигнала s(t) в виде линейной комбинации бесконечной (в общем случае) последовательности функций {ф,<0, = О, 1, 2, ... }:

s(t) = Со фо(0 + с, ф1(0 + - + с„ ф„(0 +... (6.1)

Для того чтобы разложение (6.1) бьшо единственным, необходима линейная независимость всех функций фДО- Коэффициенты ряда рассчитываются проще всего, если система функций {ф,} является еще и ортонормированной, т. е. подчиняется следующим условиям:

о, 1ф],

\iPi(t)ipj(t)dt =

1, i = J.

(6.2)

Замечание

Всякая система Линейно независимых функций может быть преобразована в ортонормированную, поэтому условие (6.2) никоим образом не сужает область применимости разложения (6.1).

Коэффициенты С,- в случае ортонормированной системы {ф,<0} рассчитываются следующим образом:

Q = \s{t)<pi(t)dt.

(6.3)

Разложение сигнала в обобщенный ряд Фурье по ортонормированной системе функций обладает полезным свойством: если нужно получить приближенное представление сигнала в виде линейной комбинации конечного числа базисных функций фХО. то ошибка представления, рассчитываемая как интеграл от квадрата разности

5(0-1о,фД0 =1

будет минимально возможной, если коэффициенты такого разложения совпадают с коэффициентами ряда Фурье, рассчитанными по формуле (6.3):

й/ = С,

Таким образом, усеченный ортонормированный ряд Фурье обеспечивает минимальную ошибку представления сигнала в конечном базисе.

6.4. ТЕОРЕМА КОТЕЛЬНИКОВА

Как упоминалось в предьщущем параграфе, существует класс сигналов, которые могут быть без потерь информации представлены своими дискретными отсчетами. Рассмотрим этот вопрос подробнее, для чего докажем теорему Котельникова, которая гласит:

любой сигнал s(t), спектр которого не содержит составляющих с частотами выше некоторого значения сов = 2п /в, может быть без потерь информации представлен своими дискретными отсчетами {s(kT)}, взятыми с интервалом, удовлетворяющим следующему неравенству:

T<-L = . (6.4)

2/в

Восстановление исходного непрерывного сигнала s(t) по набору его дискретных отсчетов {s(kT)} производится следующим образом:

sm-(t-kT) s(t)= X s(kT)-1-

k=-00

(6.5)

f(t-kT)

Формула (6.5) представляет собой разложение сигнала s(t) в ряд по системе функций {ф^(0}, называемой базисом Котельникова:

s\n-(t-kT) {t-кТ)

(6.6)

График функции фо(0 показан на рис. 6.4. Остальные функции базиса отличаются от фо(0 сдвигом по времени на величину кТ. Функция ф1(0 показана на рис. 6.4 пунктиром. Видно, что в момент времени г = А:/ функция ipiJit) достигает максимума, равного единице, тогда как все остальные функции базиса равны нулю.

Для доказательства теоремы Котельникова необходимо подробнее исследовать разложение сигнала в ряд по функциям {ф;(0}.

Прежде всего обратим внимание на то. Рис. 6.4. Базис Котельникова

V i А i / \ 1 \

0 г 2Г



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 [ 31 ] 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51