что спектральная плотность Soiai) функции фо(0 имеет прямоугольную форму (рис. 6.5):

1/Т ю

Рис. 6.5. Амплитудный спектр базисных функций базиса Котельникова

(6.7)

Спектральная плотность остапьных функций базиса, согласно свойствам преобразования Фурье, отличается от 5о(со) лишь дополнительным фазовым множителем:

5И ) = о( )е-- *.

Теперь докажем ортогональность базиса {ф;(0}- Для этого необходимо вычислить значение интеграла (6.2):

00 s\r\{t-kT) sinU-пТ)

Wk(thnm= f----dt.

- j;(t-kT) (t-пТ)

(6.8)

Для вычисления проше всего воспользоваться свойством преобразования Фурье, связывающим интеграл от произведения сигналов 5] (г) а S2(t) с интегралом от произведения их спектральных

плотностей iSi(co) и iS2(co) (см. § 1.7):

]si(t)s2(t)dt = -L ]Si(a)S2(a)da.

Применяя соотношение (6.9) к формуле (6.8), получим фИОф (ОЛ = Jo(co)e- io*( )e> rfco =

... 271

(6.9)

Теперь примем во внимание вид функции .So(co) (см. (6.7) и рис. 6.5). С учетом этого

hk(th (t)dt = Т^ в->(-)со. (6.10)

При п = к получаем

blm=Tlda=±-T = T.

2я 2п У

При п Ф к можно вычислить интефал (6.10) обычным образом:

1фа:(0ф (0А =

,-Мк-п)Т

я/Г -71/7-

271 -Кк-п)Т

Т L-Mk~ri) т(к-п)\

- J2n{k - и)

Т Т

(- 2j sin %{к - ri)) = -sin .{к - п).

- У271(А; - п)

п(к - п)

Так как кип - целые числа, то sin п(к - п) = О, а значит, нулевым является и результат вычисления интефала. Итак,

Wkithn(t)dt =

Г, к = п, о, кФп.

Таким образом, система функций {ф^(0} является ортогональной, но не нормированной (их норма равна ). Поэтому коэффициенты разложения сигнала в базисе Котельникова рассчитываются следующим образом:

Q = ?5(0фИ0Л.

-00

Снова воспользуемся свойством (6.9):

1

J(co)io(co)e *rfco.

27tT

С учетом вида функции 5 о(со) (см. (6.7) и рис. 6.5), получим

1 t/y

C.=-i- J S(a)eJda. (6.11)

271-я/Г

Так как спектр сигнала, согласно условию (6.4) применимости теоремы Котельникова, ограничен частотой сОв < , пределы интегрирования в (6.11) можно заменить на бесконечные:

,5(сй)е^ сй.

Этот интеграл представляет собой обратное преобразование Фурье для момента времени t = кТ. Таким образом, окончательно получаем

Q = s{k1).

Итак, сигнал с ограниченным по частоте спектром может бьггь восстановлен по значениям своих дискретных отсчетов. Тем самым теорема Котельникова доказана.

Замечание

Если условие (6.4) не выполняется, коэффициенты разложения сигнала в базисе Котельникова, которые в этом случае должны рассчитываться по формуле (6.11), не будут совпадать с отсчетами исходного сигнала. Из той же формулы (6.11) следует, что в общем случае коэффициенты разложения равны отсчетам сигнала, предварительно пропущенного

через идеальный ФНЧ с частотой среза .

6.5. СПЕКТР ДИСКРЕТИЗИРОВАННОГО СИГНАЛА

Преобразование Фурье позволяет вычислить спектральную плотность сигнала, представляющего собой функцию (как правило, времени либо пространственных координат). Дискретный же сигнал является последовательностью чисел, поэтому для анализа его спектра необходимо сопоставить этой последовательности некоторую функцию.

Введем в рассмотрение дискретизированный сигнал в виде последовательности дельта-функций, взвещенной значениями отсчетов s{kT) аналогового сигнала s(t) (рис. 6.6):

5д(0= Ts(kTnt-kT).

А:=-оо

(6.12)

Замечание 1 s{t)

Термин дискретизированный в данном контексте подчеркивает, что последовательность отсчетов получена именно в результате дискре- тизации аналогового сигнала. о Т2т

Рис. 6.6. Дискретный сигаал Так как функция b(t - кТ) равна нулю в виде последовательности

всюду, кроме момента t = кТ, можно за- дельта-функций менить в выражении (6.12) константы sikT) на исходный непрерывный сигнал sit):

5д(0 = 5(0 Zt-icT).

к=- >

(6.13)

Получив математическую модель, можно приступить непосредственно к вычислению спектра дискретизированного сигнала 4 (со).

Прежде всего рассмотрим спектр второго множителя, входящего в выражение (6.13). Обозначим этот множитель как y{t):

Я0= Ъа-кТ).

Это периодический сигнал, который можно разложить в ряд Фурье. Коэффициенты этого ряда рассчитываются как

7/2 Т11.

(6.14)

-7-/2

-7-/2

В формуле (6.14) было учтено, что в интервал интефирования (-7/2, 7/2) попадает только одна 6-функция, соответствующая А: = 0.

Таким образом, периодическая последовательность дельта-функций может бьггь представлена в виде ряда Фурье:

3 = Ее

Я = -00

(6.15)

где сй = 2пгп/Т. Подставив (6.15) в (6.13), получим

П=-оО

Т

Теперь можно вычислить преобразование Фурье дискретизиро-ванного сигнала:

-00 = -

= 1 £ ]s(t)e-J-dt.

(6.16)

Интеграл в выражении (6.16) представляет собой преобразование Фурье сигнала s(t), вычисленное на частоте ю - (й„:

]s(t)e-j~ dt = S(a-a ).

Поэтому, учтя, что со = 271 п/Т, спектр дискретизированного сигнала можно окончательно записать так

1 Я=-00

(О --

(6.17)

Таким образом, спектр дискретизированного сигнала представляет собой бесконечный ряд сдвинутых копий спектра исходного непрерывного сигнала s{t) (рис. 6.7). Расстояние по частоте между соседними копиями спектра равно частоте дискретизации Юд = 27i/7!

Следует также отметить, что из-за наличия в формуле (6.17) множителя 1/Т спектр дискретизированного сигнала имеет размерность, совпадающую с размерностью сигнала (это связано с тем, что функция 5(г) имеет размерность частоты).

Характер спектра дискретизированного сигнала еще раз демонстрирует частотно-временную дуальность преобразования Фурье:

периодический сигнал -> дискретный спектр;

периодический спектр -> дискретный сигнал.

Рис. 6.7. Спектр дискретизированного сигнала

Рис. 6.7 наглядно демонстрирует и способ восстановления непрерывного сигнала по дискретным отсчетам. Для этого необходимо пропустить дискретный сигнал через идеальный фильтр нижних частот (ФНЧ) с частотой среза, равной половине частоты дискретизации. АЧХ такого фильтра показана на рис. 6.7 пунктиром.

Очевидно, что точное восстановление сигнала возможно, если сдвинутые копии спектра не перекрываются. Из рис. 6.7 видно, что для этого необходимо, чтобы частота дискретизации как минимум в два раза превышала верхнюю граничную частоту в спектре сигнала:

(йд>2(0з. (6.18)

Это то же самое условие (6.4), которое лежит в основе теоремы Котельникова (см. § 6.4).

Замечание 2

Если для восстановления сигнала воспользоваться не ФНЧ, а идеальным полосовым фильтром со средней частотой июд и шириной полосы пропускания, равной Юд, бу-

271,7 1

дет вьщелена пара сдвинутых копий спектра S

со±-

свойств преобразования Фурье (см. формулу (1.44) и § 1.8, где была показана ее универсальность) следует, что такой спектр соответствует радиосигналу вида 2s(t)cos(n(S)jt) (предполагается, что условие теоремы Котельникова выполнено и сдвинутые копии спектра не перекрываются).

Таким образом, с помощью полосового фильтра можно из дискретных отсчетов видеосигнала получить аналоговый радиосигнал.

Если условие (6.18) не выполняется, сдвинутые копии спектра будут накладываться друг на друга, что приведет к неизбежным искажениям при восстановлении непрерывного сигнала (рис. 6.8). Эти искажения вызваны двумя причинами:

не будут восстановлены спектральные составляющие сигнала с частотами, превышающими (йд/2;

из-за попадания в полосу пропускания восстанавливающего ФНЧ хвостов соседних сдвинутых копий спектра оказываются искаженными и спектральные составляющие, лежащие в полосе восстанавливаемых частот.