Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

Применение БПФ возможно, если число элементов в анализируемой последовательности является степенью числа 2. Как уже отмечалось, некоторое ускорение вычислений возможно и при разложении N на другие множители, однако это ускорение не столь велико, как при N = 2*.

Алгоритм БПФ предназначен для расчета всех спектральных коэффициентов Х{п). Если же необходимо получить эти коэффициенты лишь для некоторых п, прямая формула ДПФ может оказаться предпочтительнее.

6.8. МЕТОД Z-ПРЕОБРАЗОВАНИЯ

Удобным способом анализа дискретных последовательностей является -преобразование. Смысл его заключается в том, что последовательности чисел {х(к)) ставится в соответствие функция комплексной переменной z, определяемая следующим образом:

X(z)= Ymz

(6.35)

Замечание 1

Разумеется, функция X(z) определена только для тех значений z, при которых ряд (6.35) сходится.

Примеры вычисления z-преобразования для некоторых дискретных сигналов

/. Единичная импульсная функция, представляющая собой одиночный отсчет с единичным значением:

Хо(к) =

1, к = 0, О, к^О.

(6.36)

Расчет ее г-преобразования не представляет сложности:

Функция Xoiz) сходится на всей комплексной плоскости.

Делить исходную последовательность можно на любое количество частей. Таким образом, приведенный алгоритм позволяет уменьшить число операций в случае любого N, не являющегося простым числом. Степень ускорения вычислений зависит от числа фрагментов последовательности и является максимальной при делении на две части, как в рассмотренном примере.

Наибольшая степень ускорения вычислений может быть достигнута при N= 2к,ъ этом случае деление последовательностей на две части можно продолжать до тех пор, пока не получатся двухэлементные последовательности, ДПФ которых рассчитывается вообще без использования операций умножения (достаточно вычислить сумму и разность двух отсчетов). Число требуемых при этом пар операций умножение-сложение можно оценить как NlogiiN). Таким образом, вычислительные затраты по сравнению с непосредственным использованием формулы (6.23) уменьшаются

в N /1о£2(Л0 раз. При больших N это отношение становится весьма велико (например, 1024/log2(1024) = 102,4, т. е. при N= 1024 достигается более чем 100-кратное ускорение). Рассмотренный способ вычисления ДПФ называется быстрым преобразованием Фурье (БПФ) и повсеместно используется на практике.

Замечание 2

Рассмотренный алгоритм БПФ называется алгоритмом с прореживанием по времени и не является единственно возможным. Можно, например, разделить исходную последовательность не на отсчеты с четными и нечетными номерами, а на две следующих друг за другом половины. Если после этого провести преобразования, аналогичные рассмотренным выше, получится алгоритм БПФ с прореживанием по частоте. Существуют и другие разновидности алгоритмов БПФ [7].

Завершая краткое рассмотрение идеи БПФ, необходимо отметить следующее:

БПФ не является приближенным алгоритмом; при отсутствии вычислительных погрешностей он даст в точности тот же результат, что и исходная формула ДПФ (6.23). Ускорение достигается исключительно за счет оптимальной организации вычислений.



2. Единичный скачок

х(к) =

о, к<0.

[1, к>0.

Используя определение -преобразования (6.35), получаем

Л = -00 к = 0

(6.37)

Ряд (6.37) является суммой бесконечной геометрической прогрессии с первым членом = 1 и знаменателем Как известно, такой ряд сходится при < 1, т. е. при г| > 1, и его сумма равна

(6.38)

Замечание 2

Можно записать результат и в виде X(z) = z/iz- 1), но в теории -преобразования принято использовать отрицательные степени z.

Замечание 3

Единичная импульсная функция и единичный скачок являются дискретными аналогами рассматривавшихся в § 1.1 тестовых сигналов - дельта-функции Дирака и ступенчатой функции Хевисайда соответственно.

3. Дискретная показательная функция

о, л < о,

х{к) =

к>0.

Дяя вычисления г-преобразозания нужно вычислить сумму следующего ряда:

Как и в предьщущем случае, этот ряд представляет собой сумму геометрической прогрессии. Первый член равен 1, знаменатель ра-

вен az . Таким образом, ряд сходится при \az < 1, т. е. при > \а\, а его сумма равна

l-az-

(6.39)

Дискретное -преобразование очень простым образом связано с преобразованиями Лапласа и Фурье. Рассмотрим последовательность, определенную при к>0, и сопоставим ей временной сигнал в виде набора дельта-функций:

5(0= Zmt-kT),

(6.40)

где Т- интервал дискретизации. Вычислим преобразование Лапласа для сигнала (6.40):

S{p) = ]sit)e-dt = I £х(А:)б(/-kT)ePdt = £ x(A:)j5(/-kT)e-Pdt. 0 0=0 k=0 0

Воспользовавшись фильтрующим свойством б-функции (см. § 1.1 и формулу (1.11)), получим

эд= zme- .

Эта формула переходит в формулу (6.35), определяющую -преобразование, если выполнить подстановку z =

Таким образом, взаимное соответствие между г-преобра-зованием X(z) и преобразованием Лапласа S(p) описывается следующим образом:

X{z) = s(lnz S(p) = X(eP).

Похожими формулами описывается и связь г-преобразования X(z) с преобразованием Фурье S(a) (заметим, что при рассмотрении этой связи нет необходимости считать последовательность односторонней):



5((o) = A(e ).

(6.41)

Столь тесная связь -преобразования с преобразованиями Фурье и Лапласа обусловливает и подобие свойств этих преобразований. Свойства z-преобразования

1. Линейность. Z-преобразование, согласно определению (6.35), является линейной комбинацией отсчетов последовательности, поэтому оно подчиняется принципу суперпозиции:

если {xi(k)} < Xi(z) и {Х2(к)} < Xiiz),

то {ах(к) + Ьх2т < aXiz) + bX2(z).

2. Z-преобразование задержанной последовательности. Если -преобразование последовательности {х{к)} равно X{z), то -преобразование последовательности, задержанной на кр тактов (у{к) = х(к - ко)), будет иметь вид

Y(z)= Ty(k)z-= Yx{k-ko)z-=

к=-со к=- >

;к=-оо /)=-оо

Таким образом, при задержке последовательности на тактов необходимо умножить ее -преобразование на z~

3. Z-преобразование свертки последовательностей. Свертка двух бесконечных дискретных последовательностей {х\{к)} и {х2{,к)} определяется следующим образом:

У{к)= J:x,in)x2ik-n).

П = -со

Вычислим -преобразование для последовательности {у{к)}:

К(г)= Ъik)z-= Е

к=-т к=-а

£xi(n)x2(k-n)z

к=-к

YXi(n)X2(k-n)Z- z--

/) = -00

xi{n)z- Y.X2(k-n)z--

к=-оо ,

ад

= X2(Z) Zxi(n)z- = XAZ)X2(Z).

(6.42)

/) = -00

Итак, свертке дискретных последовательностей соответствует произведение их г-преобразований.

Замечание 4

Рассматриваемая здесь свертка бесконечных дискретных последовательностей называется линейной сверткой; ее не следует путать с круговой сверткой периодических последовательностей, речь о которой шла при описании свойств дискретного преобразования Фурье в § 6.6.

Обратное z-преобразование. Соответствие между дискретной последовательностью чисел и ее -преобразованием является взаимно однозначным. Формула перехода от -преобразования к последовательности чисел называется обратным -преобразованием и формально записывается следующим образом:

x(k) = §X(z)z dz.

(6.43)

Интеграл в (6.43) берется по произвольному замкнутому контуру в области сходимости функции X(z), охватывающему все ее полюсы.

Практическое вычисление обратного -преобразования чаще производится путем разложения функции X(z) на простые дроби. Поясним это на несложном примере.

Пусть X(z) = \/i-z~- - Z~+\)- Разложим X(z) на простые дроби:

(i-r)(i-ir)

(6.44)



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 [ 35 ] 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51