сигаала хранится в ячейках памяти, которые образуют цифровую линию задержки. Эти отсчеты умножаются на коэффициенты о, и суммируются, формируя выходной отсчет у(к).

Так как при вычислениях не используются предьщущие отсчеты выходного сигнала, в схеме отсутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называются нерекурсивными. Применяется также термин трансверсальный фильтр (от английского transversal - поперечный).

Импульсная характеристика нерекурсивного фильтра определяется очень просто. Подставим в уравнение (6.55) единичный импульс X(j(k) в качестве входного сигнала:

т

h(k)= Yaixoik-i).

/ =0

Но отсчет X(j(k - i) равен нулю для всех к, кроме к = /, когда этот отсчет равен единице. Поэтому мы получаем очень простой результат:

Нк) = uk,

т. е. коэффициенты о,- являются отсчетами импульсной характеристики фильтра. Это можно наглядно пояснить с помощью

рис. 6.14. При подаче на вход единичного импульса он будет перемещаться по линии задержки, умножаться на коэффициенты Оо, Oi, 02, ... и проходить на выход устройства (ведь все остальные входные сигналы сумматора будут равны нулю). Очевидно, что в реальном устройстве линия задержки содержит конечное число элементов, поэтому импульсная характеристика нерекурсивного фильтра также является конечной по длительности. Это обусловило еще одно название таких фильтров - фильтры с конечной импульсной характеристикой (КИХ-фильтры).

Х(к-1)

х(к-2)

х{к-т+1)

x(k-rrn-l)

y(k-r -i)

Рис. 6.14. Нерекурсивный фильтр

Рис. 6.15. Рекурсивный фильтр - прямая реализация

Вследствие отсутствия обратных связей любой нерекурсивный фильтр является устойчивым - ведь какие бы ни были начальные условия (т. е. отсчеты, хранящиеся в линии задержки), при отсутствии сигнала на входе (х(к) = 0) выходной сигнал (свободные колебания) будет существовать не более чем т тактов, необходимых для очистки линии задержки.

Простота анализа, синтеза и реализации, а также абсолютная устойчивость привели к тому, что нерекурсивные фильтры широко применяются на практике. Однако для получения хороших частотных характеристик (например, полосовых фильтров с высокой прямоугольностью АЧХ) необходимы нерекурсивные фильтры высокого порядка - до нескольких сотен и даже тысяч.

Рекурсивные фильтры. Если уравнение фильтрации имеет общий вид (6.46), т. е. содержит как входные, так и выходные отсчеты, для реализации такого фильтра в схему, приведенную на рис. 6.14, необходимо добавить вторую линию задержки - для хранения выходных отсчетов у{к - /). Получающаяся при этом структура показана на рис. 6.15.

Так как при вычислениях используются предыдущие отсчеты выходного сигнала, в схеме присутствуют обратные связи. Поэтому такие фильтры называют рекурсивньши.

Замечание 2

Количество входных и выходных отсчетов, используемых для вычислений, может не совпадать. В таком случае порядком фильтра считается максимальное из чисел тип.

Импульсная характеристика рекурсивного фильтра рассчитывается значительно сложнее, чем для нерекурсивного. Рассмотрим формирование лишь нескольких первых ее отсчетов. При поступлении на вход единичного импульса он умножается на oq и проходит на выход. Таким образом,

Л(0) = flo-

Далее входной единичный импульс попадает во входную линию задержки, а выходной отсчет, равный qq, - в выходную линию задержки. В результате второй отсчет импульсной характеристики будет формироваться как

Л(1) = oi + f>i Л(0) = а\+ OQ by.

Продолжив рассмотрение перемещения входного единичного импульса вдоль входной линии задержки и заполнения выходными отсчетами выходной линии задержки, можно получить

Л(2) = 02 + Л(0) +Л(1) =

= Й2 + о О Ь\) =

= Й2 + I 1+ О 2+ О l-

Видно, ЧТО по мере того как выходная линия задержки заполняется отсчетами импульсной характеристики, сложность аналитических формул быстро нарастает.

Наличие в схеме обратных связей позволяет получить бесконечную импульсную характеристику, поэтому рекурсивные фильтры называют также фильтрами с бесконечной импульсной характеристикой (БИХ-фильтрами). По этой же причине рекурсивные фильтры могут быть неустойчивыми.

6.12. ФОРМЫ РЕАЛИЗАЦИИ ЦИФРОВЫХ ФИЛЬТРОВ

Структурная схема, показанная на рис. 6.15, называется прямой реализацией рекурсивного фильтра и не является единственно возможной. Рассмотрим еще несколько вариантов.

Каноническая форма. Разделим общий сумматор в схеме рис. 6.15 на два отдельных - для рекурсивной и нерекурсивной частей фильтра (рис. 6.16, а). В результате получаем два последовательно соединенных фильтра, один из которых является нерекурсивным, а другой, напротив, содержит только рекурсивную часть. Так как результат последовательного прохождения сигнала через ряд линейных стационарных устройств не зависит от последовательности их соединения, можно поменять местами две половинки нашего фильтра (рис. 6.16, б). Теперь остается заметить, что в обе линии задержки подается один и тот же сигнал, поэтому они будут содержать одинаковые наборы отсчетов. Это позволяет объединить линии задержки. Полученная в результате схема изображена на рис. 6.17, она называется канонической реализацией рекурсивного фильтра.

С теоретической точки зрения оба варианта эквивалентны. Однако при практической реализации необходимо обратить внимание на ряд особенностей, присущих этим схемам. С одной стороны, при канонической реализации используется общая линия задержки, что уменьшает число необходимых ячеек памяти. Однако при этом абсолютные величины отсчетов, бегающих в линии за-

Рис. 6.16. Перестановка рекурсивной и нерекурсивной частей фильтра - путь к получению канонической реализации

Рис. 6.17. Рекурсивный фильтр - каноническая реализация

держки, могут существенно превосходить амплитуду входного и выходного сигналов. Это приводит к необходимости увеличивать разрядность представления чисел в линии задержки по сравнению с разрядностью входного и выходного сигналов, что усложняет реализацию устройства. При прямой реализации в линиях задержки хранятся непосредственно отсчеты входного и выходного сигналов, т. е. нет необходимости в повыщенной разрядности линий задержки. Единственным элементом, требующим повыщенной разрядности, в данном случае является сумматор, и это учтено в архитектуре микропроцессоров, специально предназначенных для обработки сигналов в реальном времени.

Транспонированная форма. Поменяем в схеме рис. 6.14 последовательность выполнения операций умножения и задержки, использовав в каждой ветви отдельную линию задержки на нужное количество тактов. Разделим также общий сумматор на несколько двухвходовых сумматоров. Получивщаяся структура показана на рис. 6.18. Теперь, рассмотрев любую пару соседних сумматоров, можно заметить, что суммируемые ими сигналы претерпевают некоторую общую задержку. Это дает возможность поменять местами операции суммирования и задержки. Полученная схема, показанная на рис. 6.19, называется транспонированной (transposed) реализацией цифрового фильтра.

t>

<±)

Рис. 6.18. Изменение последовательности выполнения операций умножения

и задержки - путь к получению транспонированной реализации фильтра

Рис. 6.19. Транспонированная реализация нерекурсивного фильтра

Для упрощения рисунков (см. рис. 6.18 и 6.19) преобразование в транспонированную форму произведено для нерекурсивного фильтра, однако такое преобразование можно осуществить и с рекурсивным фильтром.

Транспонированная схема позволяет эффективно распараллелить вычисления и потому применяется при реализации цифровых фильтров в виде специализированных интегральных схем. Действительно, при реализации фильтра в форме рис. 6.14 или рис 6.15 можно одновременно выполнять все операции умножения, но для получения выходного результата необходимо дождаться окончания выполнения всех операций сложения. В транспонированной же схеме, помимо умножения, можно одновременно выполнять и все операции сложения, поскольку они являются независимыми, т. е. не используют в качестве суммируемых величин результаты других сложений. Как видно из схемы, приведенной на рис. 6.19, собственно для расчета выходного сигнала необходимо выполнить одно умножение и одно сложение; все остальные операции производят