Л((й)= lr(t)e-jdt,

устанавливаем простое и часто используемое соотношение

(1.37)

1.5. ПРЕОБРАЗОВАНИЕ ФУРЬЕ НЕКОТОРЫХ СИГНАЛОВ

Рассмотрим преобразование Фурье некоторых часто используемых моделей видео- и радиосигналов.

Функция Дирака. Воспользуемся фильтрующим свойством 5-функции (1.11) и будем искать ее спектр:

5(ш) = 5(0е £?Г = е--/ ° = 1.

(1.38)

Во всем частотном диапазоне модуль спектра 5-функции постоянен, фазовый спектр равен нулю.

Естественным является предположение о существовании представления 5(0 в виде обратного преобразования Фурье найденной

спектральной функции = 1:

5(0 = - f 1 eJdiu = - \eJ d<i, Из последней формулы следует, что

оо оо оо оо

27i5(0 = je-Jda = jcosatda ± j sinatda = Jcosw/f/co , (1.39)

- оо -оо -оо -оо

а также, в силу отмеченной в § 1.4 симметрии преобразования Фурье относительно переменных t и ш,

27t5(co) = ]eJdt = со8шГЛ . (1.40)

- оо -оо

Преобразование Фурье функции b{t-tf,):

(ш) = ]&(( - to)e-i*dt = е->п. (1.41)

S( )I

О fo t

а б

Рис. 1.7. функция Дирака (а) и ее спектр (б)

Амплитудный спектр сдвинутой во времени 5-функции не изменяется, фазовый спектр приобретает дополнительное слагаемое -(fl b- Принятое графическое обозначение 5(/- о), ее амплитудный и фазовый спектры показаны на рис. 1.7, а, б.

Прямоугольный видеоимпульс. При практическом вычислении интеграла (1.31) пределы интегрирования определяются интервалом (интервалами) существования отличных от нуля значений сигнала.

Для сигнала (1.4)

Т/г . f, т/2

5(ш)= } Ue-Jdt = -- j eJ di-Jisyt) =

-Т/2 J-T/2

и

We 2 е

- sin-- = иТ ш 2

(1.42)

Как и следовало ожидать, Фурье-преобразование четной функции оказалось вещественной функцией ш. Показательная форма

удобна для анализа и графического построения. На

рис. 1.8, а, б приведены графики модуля и фазы спектральной функции прямоугольного видеоимпульса. Здесь

S{0) = lim S{ia) = UT ,

координаты нулей модуля определяют при к = ±1, ±2, ... из уравнения (лТ/2 = кп. Полезно сравнить полученный результат и ряд Фурье последовательности прямоугольных импульсов, рассмотренный в § 1.3.

Фазовый спектр ф(сй) в рассматриваемом случае своеобразен: мнимая часть спектральной функции тождественно равна нулю, но

(р(ю) 2я

о

271 I

Рис. 1.8. Амплитудный (с) и фазовый (б) спектры прямоугольного видеоимпульса

именно ехр уф(с)) является множителем, который при записи в форме (1.42) отражает знакопеременный характер вещественной

функции S((i)). Поэтому принимают:

для интервала частот со е [-4п/Т, -2п/Т] : ф(со) = п;

для интервала частот со е [-271/7 , 2п/Т\ : ф(со) = 0;

для интервала частот со е [271/7 , 4п/Т\ : ф(со) = -7i и т. д.

Прямоугольный радиоимпульс (радиосигнал). Для радиосигнала (1.15) получим

Т/2 . т/2 Jmt -jmt .

ф)= I и COS щг J*dt = и ]---e-J*dt =

-т/2 -Т/2 2

Т /1 ТI 1l

1-7 /2

= -UT 2

-7/2

. (co + con)? . (co-con)?

sin -sin -

2 . 2

(со + coq )r (со -coo)r

(1.43)

График модуля выражения (1.43) приведен на рис. 1.9. Оказывается, что умножение видеоимпульса на гармоническую функцию

IS(to)l

-too

Рис. 1.9. Амплитудный спектр прямоугольного радиоимпульса

COS соо^ в спектральной области приводит к смещению спектра видеоимпульса влево и вправо по оси частот на величину ±щ.

Назовем спектральную функцию (1.42) спектром огибающей, введем обозначение

соГ

и используем его, переписав выражение (1.43) в виде Ы = у {t/+ ) +(со - СОо )

(1.44)

подчеркивающем найденную нами связь спектров радиосигнала и его огибающей.

Замечание 1

Поведение спектральной функции (1.43) на всей частотной оси со е (-оо, оо) определяют оба слагаемых в фигурных скобках, хотя в окрестностях частот ±сйо доминируют соответственно компоненты .5 /(со-соо) и vSf/(co-н coq). Значения максимумов модуля спектра в точках ±соо равны

5{±щ) = иТ.

sin 2сооГ 2сооГ

степень взаимного влияния компонент 5/(со-юо) и

5т(2щТ)/(2щТ)

vSf/(co + coq) оценивается величиной = sinc(2coor) < 1, или, другими словами, соотношением частоты заполнения coq и длительности сигнала 7 . Так, чем

больше значение щ при фиксированном Т, тем незначительнее влияние компоненты .{/(с) + coq) на поведение спектральной функции (1.43) в области положительных частот и т. д.

Эффективная ширина и максимальная (граничная) частота спектральной функции. Амплитудные спектры рассмотренных видео- и радиоимпульсного финитных сигналов оказьшаются бесконечно широкими, хотя и убывают с ростом а). В связи с этим обычно ставят вопрос о практической , эффективной ширине спектра сигнала. Критерии для определения этой величины могут быть различными. При лепестковой структуре амплитудного спектра, как в рассмотренных случаях, за эффективную иногда принимают ширину главного лепестка спектра. При этом становится актуальным уже затрагивавшийся вопрос о физической реальности отрицательных частот: так, за эффективную ширину амплитудного спектра прямоугольного видеоимпульса принимают интервал со е [О, 2п/ 7] и

Д эф =271/7

Используя аналогичный критерий, интервал со е [coq - 271/7 , too + 27i/7] принимают за эффективную ширину амплитудного спектра соответствующего прямоугольного радиоимпульса. Эта величина оказывается в два раза больше,

Дшзф 2-Д(Вэф^ =471/Г.

Длительность сигнала и эффективная ширина его спектра связаны обратно пропорциональной зависимостью: чем короче сигнал, тем шире его спектр. Это общее, справедливое для сигналов любой формы положение обычно фиксируют эвристически, анализируя конкретные сигналы.

С эффективной шириной спектра тесно связано понятие максимальной (граничной) частоты спектральной функции. Спектр видео-сигно/га всегда концентрируется в области нулевой и низких частот ( низкочастотный спектр ), его максимальная частота совпадает (при использовании единого критерия) со значением АсОэф^,

Максимальная частота спектра соответствующего радиосигнала, концентрирующегося в области несущей частоты coq ( полосовой спектру), как легко видеть из рис. 1.9, связана с эффективной шириной спектра соотношениями

-max, = О + Д эф, = Щ + 2 эф,

База сигнала. Этим термином обозначают произведение длительности сигнала на эффективную ширину его спектра. Для рассматриваемого видеосигнала база 7Асоэф 27i, или 7Af 1. Такой порядок значений базы характерен для видеоимпульсов. База соответствующего радиосигнала вдвое больше. Иноща, по аналогии с известными результатами квантовой механики, эти соотношения называют соотношениями неопределенности теории сигналов. Их часто используют для грубой оценки эффективной ширины спектра сигналов различной формы.

Замечание 2

О сигналах, база которых существенно больше единицы, речь пойдет в § 5.3 при рассмотрении областей применения согласованных фильтров.

Сигналы в виде прямоугольных видео- и радиоимпульсов широко используются в радиотехнике; к ним часто обращаются в теоретических исследованиях, их подробно рассматривают в учебной литературе.

Гауссов импульс. Спектральная функция с лепестковой структурой чаще всего соответствует финитным моделям сигналов с разрывами, резкими скачками. В других случаях спектр может оказаться гладкой функцией частоты. Приведем без вывода, например, спектральную функцию сигнала (1.2):

S{c,)=S{(,)= ]ue-\-J*dt = Ue , (1.45)

которая оказывается вещественной и тоже гауссовой функцией частоты. Амплитудный спектр бесконечно широкого гауссова видеоимпульса также бесконечно широк, фазовый спектр равен нулю. Эффективную ширину и максимальную частоту спектра (1.45) сОтах = Дюэф иногда (с учетом сделанного при рассмитре-нии прямоугольного видеоимпульса замечания) определяют по

уровню 5{tOniax)= f-e тогда c0nx= /2. Аналогично, по

уровням и определяют эффективную длительность сигнала

(1.2), которая оказывается равной = л/2/а [l]. Таким образом,

по предложенному критерию база гауссова видеоимпульса Д^эф-Т^ф =2.