Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51

самовозбуждения не будет: нет необходимой компенсации потерь (рассмотренный в § 8.1 случай Е+ > Е-).

8.3. ВОЗНИКНОВЕНИЕ КОЛЕБАНИЙ В АВТОГЕНЕРАТОРЕ

Рассмотрим схему резонансного усилительного каскада на полевом транзисторе (рис. 8.6). Последовательный колебательный контур - нагрузка каскада - индуктивно (катушка связи Е^) связан с цепью стока. Выходной сигнал усилителя снимается с емкости С. При непосредственном соединении выхода каскада с его входом (затвором транзистора) получается один из возможных вариантов трансформаторной схемы ЕС-автогенератора (рис. 8.7), которую чаще всего используют для теоретического анализа.

Выбрав произвольное направление тока колебательного контура iy{t), запишем уравнение Кирхгофа:

г dL и + Е- dt

±М^ = 0. dt

(8.6)

где и = м(0 - напряжение на конденсаторе (на затворе транзистора), / = i{t) - ток стока. Знаки + перед слагаемым Л/ di/dt отвечают согласному или встречному включению индуктивностей контура Е и катушки связи Ес соответственно. Используя соотношения:

/к = С du/dt;

i = Su (справедливо при предположении линейности ВАХ транзистора; S - крутизна линейной ВАХ);

(Оо = 1 / -JlC (формула Томсона для резонансной частоты контура без потерь).



Рис. 8.6. Резонансный усилитель с трансформаторной связью

Рис. 8.7. iC-автогенератор с трансформаторной связью

Приведем уравнение (8.6) к виду

+

du 2 г, + (ОоМ = 0.

(8.7)

Уравнение (8.7) - линейное однородное дифференциальное уравнение 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Введем обозначение

- ±-= 2а

Е LC

и для дифференциального уравнения

d и . du 2 п + 2а - + щи = о

(8.8)

(8-9)

запишем характеристическое уравнение

+ 2ар + (Оо = 0.

Заметим, что при анализе пассивного колебательного контура с потерями в его уравнении состояния, формально совпадающем [1] с уравнением (8.9), параметр а = г/{2Е). Для высокодобротных контуров обычно выполняется условие

wqE л]Е/С

- = ---- = Q 1, или (00 а, г г

поэтому корни характеристического уравнения записывают в виде Pl2 = -а ± уд/(Оо - а^ = -а ± ушр -а ± ушо,

а общее решение уравнения (8.9) как

м(0 = Ае-> cosimt + фо). (8.10)

Постоянные интегрирования v4 и фо решения (8.10) определяются начальными условиями.

Для пассивной цепи а = г/(2Е) > О и (8.10) определяет затухающее колебание. В рассматриваемом случае условием нарастания (неограниченного) амплитуды колебаний или условием самовозбуждения автогенератора будет вытекающее из соотношения (8.8) неравенство а < 0:

(8.11)

Е ЕС



что возможно лишь при отрицательном знаке перед MS/(LQ. Этот знак определяется знаком взаимной индуктивности М, следовательно, для самовозбуждения автогенератора необходимо встречное включение катушек/, и А;в- Условие удобно представить в

MS -

С учетом знака а для пассивного контура соотношение (8.11) естественно приводит к такой трактовке роли транзистора (активного элемента) в схеме /,С-автогенератора: в контур вносится отрицательное составное сопротивление, компенсируюшее собственные потери контура, что согласуется с качественным анализом в § 8.1.

Предположение о линейности ВАХ транзистора позволяет сформулировать ус/ювие самовозбуждения (8.11), но не дает возможности анализировать стационарный, установившийся режим работы автогенератора.

8.4. СТАЦИОНАРНЫЙ РЕЖИМ РАБОТЫ АВТОГЕНЕРАТОРА

Теперь сделаем предположение о нелинейности ВАХ транзистора /=Дм). Вернемся к уравнениям (8.6) и (8.7) и заменим слагаемое М di/dt = MS du/dt на

dfdu

du dt

T. e. используем введенную в § 7.2 дифференциальную, зависящую от напряжения на затворе, крутизну S = df/du. Тогда уравнение (8.7) преобразуется к виду:

г

М dfdu 2 п

LC du

(8.12)

Уравнение (8.12) относится к классу нелинейных однородных дифференциальных уравнений 2-го порядка, общие методы решения которых неизвестны. В математической физике решение подобных уравнений ищут, опираясь на физические предпосылки, связанные с особенностями исследуемого объекта.

Метод укороченного уравнения. В рассматриваемом случае исходным пунктом может быть решение (8.10): u{t) вьшеляется на

высокодобротном контуре, амплитуда колебаний U{t) медленно (относительно сорО изменяется. Это позволяет представить предполагаемое решение уравнения (8.12) следующим образом:

w(0 f/(0 cos 0)0/, (8.13)

пренебрегая несущественной в данном случае начальной фазой и положив, на основании неравенства щ а (см. § 8.3), сор ~ щ. Используя представление (8.13), определим производные:

du dU

dt dt

d dt

dU dt

cos (Oq/ - (Oof/ sin ioq; dU

cos (oq/ - 2 coo sin (Oq/ - coqC/ cos COq/.

Учитывая медленность изменения огибающей U{t), запишем неравенство

и-COSCOn/

и, сделав на основании неравенства приближения:

dt dU

-(HqU sincoQ/; Юо sin Ю0Г - (iiluсо8Ю0/,

dt dt

подставим выражения (8.14), (8.15) в уравнение (8.12):

dU 1

-dfl

M df\

LC du

и = 0.

(8.14) (8.15)

(8.16)

Уравнение (8.16) - это так называемое укороченное (1-го порядка) дифференциальное уравнение, описывающее процессы в 1С-автогенераторе с высокодобротным контуром.

Средняя крутизна. Производная df/du является дифференциальной крутизной .Уд нелинейной ВАХ активного элемента (транзистора). В стационарном режиме при некоторой фиксированной амплитуде и ток стока можно представить в виде аналога ряда (7.7):

(О =Л Ш = k +Л cos юог +/2 cos 2юо/ +... ~ /о +1\ cos юо/ (8.17)

(в силу предположения о высокой добротности колебательного контура будем учитывать только постоянную составляющую и пер-



вую гармонику). Тогда, принимая во внимание выражения (8.13) и (8.17), производная будет равна

df df I dt -(hqIi sincoo h du du/dt - (hqU sin coq U

Дифференциальная крутизна, связывающая амплитуду первой гармоники тока стока (коллектора, анода и т. д.) и амплитуду напряжения на затворе (базе, сетке) активного элемента автогенератора, называется средней крутизной ВАХ, или крутизной по первой гармонике:

и

(8.18)

Укороченное уравнение (8.16) с учетом формулы (8.18) принимает вид

(8.19)

Стационарный режим. Стационарный режим характеризуется ус-тановивщимся, постоянным значением амплитуды U = const и dU /dt = 0.

Следовательно, в стационарном режиме из уравнения (8.19) вытекает соотнощение

определяющее среднюю крутизну в рабочей точке:

м

(8.20)

и, при известной функции / = Дм), значение (значения) Ц-т-

8.5. МЯГКИЙ И ЖЕСТКИЙ РЕЖИМЫ САМОВОЗБУЖДЕНИЯ

В зависимости от положения рабочей точки на ВАХ активного элемента автогенератора возможны два варианта поведения функции SiiU).

Именно, если средняя крутизна монотонно убывает с уве^ личением амплитуды управляющего напряжения, то говорят, что



а б

Рис. 8.8. Зависимость средней крутизны ВАХ от амплитуды входного напряжения

генератор работает в мягком режиме самовозбуждения (рис. 8.8, а). На этом же рисунке проведена так называемая линия (прямая) обратной связи - горизонтальная линия с ординатой гС/М\. Единственная точка пересечения кривой Sx{U) и прямой гС/М\ определяет амплитуду стационарных колебаний как следует из соотнощения (8.20).

Если же кривая S\{U) представляет собой (рис. 8.8, б) немонотонную функцию, то речь идет о жестком режиме самовозбуждения. В этом случае возможны стационарные режимы с амплитудами t/cTi и и„2-

Устойчивость стационарного режима. Устойчивость стационарного режима - это способность автоколебательной системы при малых, происходящих по тем или иным причинам отклонениях амплитуды генерируемых колебаний от значения t/ст возвращать амплитуду к этому значению.

Представим амплитуду в виде U= Ucj + AU, где A С/- малое изменение амплитуды, и подставим эту сумму в укороченное уравнение (8.19):

2\L LC

+ AU) = 0. (8.21)

Здесь функция Si(U) в силу предположения о малости AU аппроксимирована в окрестности t/ст отрезком прямой:

Si(U) Si(U ) + AAU,

где А = dSx/dV[(j=. ц^т является угловым коэффициентом касательной к фафику Si{U) в точке t/= t/ci-



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 [ 47 ] 48 49 50 51