Используя формулу (8.20), преобразуем уравнение (8.21): d{AU)

2

откуда, пренебрегая слагаемым (Д(У)2, получим:

d{AU) АМи^

-AU.

л 2LC <-22)

Из уравнения (8.22) следует, что если коэффициент А < О, то при увеличении U (ЛС/> 0) производная d(AU)/dt < О, при уменьшении U(AU<0) d{AU)/dt > О, т. е. при любых флуктуациях U автоколебательная система стремится к восстановлению значения и = Ucj. Иначе говоря, при А< О стационарный режим является устойчивым:

dS,(U)

<0.

Легко убедиться, что при Л > О имеет место неустойчивый стационарный режим.

Особенности мяпсого и жесткого режимов самовозбуждения. Для подробного анализа режимов самовозбуждения кроме рис. 8.8, а, б используем фафики на рис. 8.9, а, б. Здесь приведены введенные в § 7.5 колебательные характеристики I\=J{U) резонансного усилительного каскада (см. рис. 8.6), превратившегося при введении положительной обратной связи в рассматриваемый автогенератор. Характеристики /]((/) связаны соотношением (8.18) с функциями S\{ll). Рис. 8.9 а соответствует мягкому, рис. 8.9, б - жесткому режимам самовозбуждения.

Рис. 8.9. Зависимость амплитуды первой гармоники тока стока от амплитуды входного напряжения

В § 7.5 колебательная характеристика связывала амплитуды входного и выходного напряжений и записывалась в виде Л^т) 284

Линии обратной связи на рис. 8.9 а, б изображаются прямыми с угловым коэффициентом гС/М, проходяшими через начало координат:

Для добротности последовательного колебательного контура, используемого в рассматриваемой схеме, в § 4.6 было приведено соотношение

Введем понятие сопротивления обратной связи* Хсв = ао М w. представим

гС (йогС 1

М wqM xQ

так что

М xQ

Напряжение на емкости контура (и на затворе транзистора) в Q раз больше вводимой в контур ЭДС Е = х^Ц. Угловой коэффициент 1/(XcbQ) линии обратной связи на фафиках (см. рис. 8.9, а, б) тем меньше, чем сильнее обратная связь. Пересечение линии обратной связи и колебательной характеристики определяет точку стационарного режима Uar

Условие устойчивости генерации в стационарной точке при анализе с помощью колебательных характеристик записывается так:

м

(8.23)

u=u

Заметим, что до сих пор обсуждался режим генерации, соответствующий положению линии обратной связи при М= Му.

* Напомним, что в курсе теоретической электротехники комплексная амплитуда ЭДС, вносимой в цепь, индуктивно (коэффициент взаимной индукции М) связанную с цепью с током / , определяется как U = jmMl = jxJ .

Рассмотрим другие возможные ситуации:

если взаимная индуктивность М= Mj такова, что прямая rC/Mj на рис. 8.8, д, б не пересекается с кривой S\{U), rC/Mi > Si(U), то самовозбуждения нет: устойчивым состоянием автоколебательной системы является состояние с С/= О (состояние покоя), что следует и из рис. 8.9 а, б: здесь U= О - единственная точка пересечения и условие (8.23) выполняется как при мягком, так и при жестком режимах самовозбуждения;

при увеличении М от значения М2, соответствующего состоянию покоя, в условиях мягкого режима самовозбуждения на графике появляется единственная точка пересечения линии обратной связи rC/Mi и кривой S](U), соответствующая устойчивому {dS\/dV\ii (jci < 0) стационарному режиму (см.фис. 8.8, а, 8.9, а). При этом точка С/= О становится точкой неустойчивого состояния, из которого система и переходит в состояние с амплитудой 11= Ucj. При дальнейшем увеличении М (например, до значения Мз) амплитуда колебаний возрастает;

при увеличении М от значения М2, соответствующего состоянию покоя, в условиях жесткого режима самовозбуждения на графиках появляются две, с абсциссами f/cxi и (/ 2, точки пересечения прямой гС/М| и кривой S\(U) (см. рис. 8.8, б), или, что то же, прямой 1 = и/(ХсвО) и кривой I]{U) (см. рис. 8.9, б). Несмотря на это, колебания не возникают, что можно объяснить при рассмотрении фафика на рис. 8.9, б: самовозбуждение невозможно, так как при М= М\ точка С/= О остается точкой устойчивого состояния. Внешний толчок, возбуждение в системе с помощью какого-либо внешнего генератора колебаний на резонансной частоте с амплитудой и„\ переведет автогенератор в положение неустойчивого состояния; амплитуда колебаний будет возрастать до значения и„2 - точки устойчивого стационарного режима генерации;

при дальнейшем увеличении М до значения М3 в условиях жесткого режима самовозбуждения автогенератор возбудится: линия обратной связи (см. рис. 8.9, б) займет положение, при котором точка и = О станет точкой неустойчивого состояния:

dIxiU)

амплитуда колебаний при этом будет возрастать от нулевого значения до значения U 2 - точки устойчивого стационарного режима генерации;

при уменьшении М от значения Л/3 генератор будет продолжать работать, амплитуда автоколебаний будет снижаться от значения С/ст2 ДО некоторого значения U, удовлетворяющего уравнению

1 dI,(U)

Применительно к фафику рис. 8.9, б это означает совпадение угловых коэффициентов линии обратной связи и касательной к колебательной характеристике 1\{1Т); применительно к фафику рис. 8.8, б это означает равенство

= 0,

т. е. линия обратной связи гС/М займет положение касательной к кривой S\{U) в экстремальной точке. При дальнейшем уменьшении М генерация срывается, амплитуда колебаний скачком падает до нуля:, в автогенераторе с жестким режимом самовозбуждения колебания возникают и прекращаются при различных значениях коэффициента обратной связи. Это явление называют колебательным гистерезисом.

Замечание

Полезно сопоставить результаты проведенного анализа с материалом из § 8.1, где вопросы самовозбуждения и устойчивости стационарного режима работы автоколебательной системы рассматривались в самом общем виде, с энергетической точки зрения.

Зависимость режима автогенератора от выбора рабочей точки. В

начале парафафа уже отмечалось существование такой зависимости и затем анализировались мягкий и жесткий режимы самовозбуждения с привлечением, в частности, фафиков средней крутизны Sx{U). Рассмотрим возможное аналитическое представление функции Si{U): при аппроксимации ВАХ активного элемента автогенератора рядом (7.2) или (7.3) эта функция, введенная в § 8.4, является полиномом

S,iU) = +\aU+asUU...,

что вытекает из выражений (7.7) и (8.19).

Офаничиваясь первыми двумя членами полинома

(8.24)

и сопоставляя (8.24) с рис. 8.8, а, б, легко усмотреть, что мягкий режим самовозбуждения реализуется при 03 < О, жесткий режим - при 3 > 0.

Подобный же подход можно использовать, связывая характер режима самовозбуждения с видом колебательных характеристик на рис. 8.9, а, б:

/,(t/) = fl,t/ + fl3f/3+fl5[/5+....

Заметим, что более глубокий и точный анализ работы автоколебательных систем (являющийся обычно предметом курса радиопередающих устройств) часто требует удержания в аппроксимирующем ВАХ полиноме не менее 4 - 5 членов ряда.

8.6. НЕЛИНЕЙНОЕ УРАВНЕНИЕ АВТОГЕНЕРАТОРА

Подход, использованный в § 8.4, где была введена средняя крутизна S\{U), учитывает нелинейность ВАХ транзистора лишь косвенно. Для получения прямого аналитического решения укороченного нелинейного дифференциального уравнения (8.19) используем приближение (8.24) при з < О, т. е. будем искать закон изменения во времени амплитуды U{t) в автогенераторе с мягким режимом самовозбуждения. Уравнение приобретает вид

dU 1

-dTi

Будем полагать, что

и = 0.

(8.25)

где Uq - сколь угодно малое, но конечное значение амплитуды колебаний в момент времени г = О (фаничное условие). Введем обозначения:

ffl,M

>0,

Р = < О (с учетом условия з < 0).

8Z/C

Левую и правую части уравнения dU/dt = (а + р t/2) t/домножим на U:

,dU 1 dU

dt 2 dt

и разделим переменные, в качестве которых выступают / и t/:

2{а+ U)U

= dt.

Представив левую часть полученного уравнения в виде суммы элементарных дробей:

2а

1 2a

dU rf(a + pf/)

a + pC/

= dt

запишем решение:

1 ли

{1пС/2-1п(а + рС/Ъ + 1п>1} = -In-

- = (8.26)

2a a + pC/

где 1пу4- постоянная интефирования. Определим >1, используя фаничное условие (8.25):

2а а + р(/

= 0,

Из (8.26) и (8.27) для [/= U{t) следует:

(8.27)

(8.28)

а

При Г -> 00 амплитуда автоколебаний U стремится к стационарному значению:

,2a/

= lim -/-> >

-2at

P .-2at P

+ -e a

P \

iTc/M-fl,

(8.29) 289