Главная  Теоретические основы радиотехнологии 

1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51

ления КФ и ВКФ (см. § 1.10). Однако следует обратить внимание на весьма существенное различие: переменная, по которой ведется интегрирование, в сомножители подынтегральной функции интеграла (1.54) входит с различными, а интефала (1.69) - с одинаковыми знаками.

Технику вычисления интеграла свертки удобнее всего пояснять на конкретных примерах.

Пример 1. Возьмем в качестве сигнала J{t) прямоугольный видеоимпульс (1.48), а в качестве сигнала g{t) - финитный сигнал (1.5).

Как следует из выражения (1.54), вычисление интеграла ведется по вспомогательной переменной X. Аргумент свертки t выступает в качестве параметра. На рис. 1.16, а (в системе координат Х - сигнал ) показано взаимное расположение функций, произведение которых образует подынтегральное выражение в (1.54) при /= О, в частности, инвертированная относительно оси ординат функция

g{t-X); здесь

и

g(t-X) = {T-t + X),

при г = О

имеем

g{-X) = -(Т + Х). На рис. 1.16, б показано то же, но для интервала

0< t<T; на рис. 1.16, в - для Т< t<2T.

Интегрирование в (1.54) ведется по интервалу, соответствующему области существования отличного от нуля произведения fiX)g(t - X). Именно протяженность и расположение этой области в каждом конкретном случае определяет пределы интегрирования в (1.54). В рассматриваемом случае

s(t) = \{T-t + X)dk =

о

5(0= 1

Tt-~ 2

при О < f < Г.

i/2 {/2

272 2Tt + -

при T<t<2T.

f(X)


0 T X 0 t T X 0 t-T T t X

a б в

Рис. 1.16. Вычисление свертки прямоугольного и треугольного импульсов


2Т t

Рис. 1.17. Свертка прямоугольного и треугольного импульсов

Очевидно, что при t> 2Т и / < О свертка sit) = 0. График свертки приведен на рис. 1.17. Вычисление свертки ведется по участкам , что характерно для финитных или кусочно-заданных функций Если ДО и g(t) не содержат аддитивно 5-функций (1.9), то значения свертки в точках соединения (стыках) отдельных совпадать; в рассматриваемом примере

участков должны 5(7) = [/2 7/2.

Читателю рекомендуется сравнить полученный здесь результат и результат вычисления ВКФ (см. пример 2 § 1.10).

Заменой переменной показывают (это предоставляется читателю сделать самостоятельно), что интефал (1.54) можно также записать в виде

sit)= lnt-X)g{X)cJX.

(1.74)

Результаты вычислений по формулам (1.54) и (1.74) совпадают; выбор той или иной формы записи определяется соображениями упрощения вычислений.

Разумеется, можно вычислять свертку не только финитных функций, но и функций, определенных на любых, в том числе бесконечных, интервалах.

Пример 2. В качестве сигнала j{t) вновь возьмем прямоугольный видеоимпульс (1.48), а в качестве сигнала g(t) - экспоненту (1.3).

Рисунок, отражающий взаимное положение функций git-X) и ДХ) в системе координат >.-сигнал , читателю предлагается выполнить самостоятельно. Интефал свертки записывается следующим образом:

.5(0 = }аС/е- (-) = {/е- }Ла?1 = [/(1-е- ) приО</< 7. о о

Т

5(0= а^7е- (- = [/(1-е- )е при Т < t < оо. о

При / < О свертка s{t) = 0.

Пример 3. Рассмотрим, наконец, свертку произвольного сигнала ЛО с функцией Дирака 5(0. Согласно формулам (1.54) и (1.74) с учетом фильтрующего свойства (1.11) 5-функции, можем записать



s{t) = imnt - x)dx = ]f(t - xnx)d\ = /(0.

- 00 -00

Сверткой произвольной функции с функцией Дирака является сама произвольная функция.

1.12. КОРРЕЛЯЦИОННО-СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ СИГНАЛОВ

Особенно важным вопросом является связь корреляционных и спектральных характеристик детерминированных сигналов.

Корреляционная функция и энергетический спектр. Поставим в

соответствие сигналам S\it) и siit) спектральные функции 5*1 (со) и

52(со). Обратимся к определению ВКФ (1.71) и, последовательно

воспользовавшись теоремой о спектре сдвинутого во времени сигнала (1.47) и теоремой Рэлея (1.56), представим

00 J гл

12() = I 1 (0*2(t - т)Л = [5, (со)2 (со) eVco =

j,2(co)e>Vco.

Комплексная в общем случае функция Ж,2(со) = 5,(со)52(со)

(1.75)

(1.76)

называется взаимным энергетическим спектром сигналов Si{t) и siit).

Но выражение (1.75) является обратным преобразованием Фурье (1.32) с ядром ехр(/сот), примененным к взаимному энергетическому спектру Wiiifo); следовательно, существует соответствующее прямое преобразование Фурье:

WM= ja2(t).->vt

(1.77)

Соотношения (1.75) - (1.77) являются основой корреляционно-спектрального анализа детерминированных сигналов. В частности, определение (1.75) позволяет глубже осмыслить уже обсуждавшееся понятие ВКФ. В самом деле, при неперекрывающихся (концентрирующихся в различных частотных интервалах) спектрах

5i(co) и Siia) произведение i ](со)52(со) = О. Следовательно и

5i2(t) = О, т. е. эти сигналы оказываются абсолютно некоррелированными.

Положив в (1.75) s\it) = Slit) = s(t), получим соотношения, связывающие КФ сигнала с его энергетическим спектром

Ж(со) = 5(co)S*(co) = 5(со) , введенным выражением (1.64):

В{т) = - j(co)e>Vco , Ж(со) = 5(т)е->т (1.78)

Эти соотношения, используя четность и вещественность функций B{z) и И^со), часто представляют в виде

B{z) = -1-]ж(со) cos mda, Ж(со) = l]B{z) cos mdx. (1.79)

Замечание

В(т), как и Ж(со) = , не зависит от фазовой спек-

тральной функции сигнала s{t). Но форма сигнала sit) при заданной спектральной функции амплитуд 5(со) существенно

зависит от фазового спектра ф(со); поэтому можно утверждать, что различные по форме, но обладающие одинаковыми амплитудными спектрами сигналы имеют одинаковые КФ.

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1. Приведите формулы прямого и обратного преобразования Фурье. При каких условиях можно пользоваться формулой прямого преобразования Фурье?

2. Какой физический смысл имеют модуль и аргумент спектральной функции непериодического сигнала?

3. Как выражается связь между спектральной функцией одиночного импульса 5(со) и комплексной амплитудой С„ ряда Фурье, описывающего периодическую последовательность, составленную из таких импульсов?

4. Как изменится спектральная функция S{a) при умножении сигнала 5(0 на cos соо / ?



5. Как изменяются амплитудный и фазовый спектры сигнала при его запаздывании?

6. Как выражается спектральная функция произведения двух функций времени, если известны спектральные плотности сомножителей?

7. Зависит ли форма корреляционной функции детерминированного сигнала от фазового спектра этого сигнала?

8. В чем состоит особенность корреляционной функции периодического сигнала?

9. Дайте определение и перечислите основные свойства корреляционной функции детерминированного сигнала. Как она связана со спектром сигнала?

10. Как определяются мгновенная мощность, энергия и средняя мощность сигнала sit) на интервале времени [/j, /2]?

11. В чем заключается фильтрующее свойство 8-функции?

12. Что такое амплитудный и фазовый спектры периодического сигнала?

13. Чем отличаются вещественная и комплексная формы ряда Фурье? В чем заключается целесообразность введения последней?

14. Комплексный коэффициент С„ на некоторой положительной частоте со равен 1,5 ехр (Jti/4). Какой смысл имеют коэффициенты 1,5 и it/4 ?

15. Спектральная функция S(co) непериодического сигнала на некоторой положительной частоте со равна 1,5 ехр (/л/4). Какой смысл имеют коэффициенты 1,5 и п/4?

16. У периодического сигнала изменилась полярность Что произойдет с его спектром?

ГЛАВА 2

МОДУЛИРОВАННЫЕ РАДИОСИГНАЛЫ

2.1. МОДУЛЯЦИЯ. ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ

Радиосигнал (1.14) u{t) = U{t) cos{coo + ф(0 + Фо} = (0 cos ф(0 описывает при U{t) = i/= const, ф(0 = О простое гармоническое колебание, не содержащее информации (характерное свойство любого детерминированного сигнала, т. е. сигнала, все параметры которого известны).

Пусть sit) - подлежащий передаче и содержащий, несущий информацию (и следовательно, случайный) или информационный сигнал. Если реализуется какая-либо функциональная связь между sit) и параметрами радиосигнала (1.14), например

т = ksit),

где к - коэффициент пропорциональности, то радиосигнал

uit) = Uit) cos(coo? + Фо) = cos(coo + Фо)

(2.1)

/cs(Ocos(a)of+ фо)

называется модулированным радиосигналом. Он содержит информацию о сигнале sit) и гармоническим уже не является. Сигнал (2.1) может быть сформирован устройством, структурная схема которого приведена на рис. 2.1.

Устройство, осуществляющее модуляцию, называется модулятором; в рас- (0 сматриваемом примере модулятор перемножает два сигнала и реализует амплитудную модуляцию (AM) несущего с08(юп?+фо) колебания cosIcoo+фо}- Если при

(0=f/= const реализуется некоторая Рис. 2.1. Формирование моду-функциональная связь между sit) и пол- лиропанного радиосигнала



1 2 3 4 5 6 7 [ 8 ] 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51