где и - транспонированные матрицы-столбцы. Имеем

- [dS] а = 2/ do (f/ + или, согласно уравнению (2.2.12),

у / ([S] а) [dS] а = d(o (f/ -Ь f/н).

(2.2.13)

(2.2.14)

Для того чтобы получить искомое соотношение (2.2.9), следует применить теорему II из приложения I

[а=и'.

Если Ур является комплексной величиной с фазовым углом (р/2 [4], то уравнение (2.2.12) запишется в виде

a = eJ4([S]a)*, = ei* ([S] а)

Соответственно уравнение (2.2.13) примет вид

- [dS] а = 2/ droeJ* {Ue + f/н)-

Однако окончательный результат (2.2.9) остается прежним, так как множитель е'* сокращается при подстановке в последнее выражение величины а^.

Гв7 Если многополюсник не имеет потерь, то матрица рассеяния [S] унитарна, г. е.

[Sp[S] = [/]. (2.2.15)

На основании теоремы Пойнтинга для многополюсника запишем

или в случае отсутствия потерь

i-2 Vj,il = 2ja{U-Ut:)+P

(1.5.8)

(2.2.16)

В матричной форме при подстановке

v = a-f-b, i = a -Ь

получим

(a b)H(a-bb)-4/(o(f/H-f/) =

= (a a-b b):f (a b-b a). (2.2.16)

Поскольку произведения а а и bb всегда действительны, а величина (а*Ь -Ь^а) является либо мнимой, либо равна нулю, то

a a-b b = 0, (2.2.17)

так как правая часть равенства (2.2.16) -чисто мнимая величина. Уравнение (2.2.17) соответствует утверждению, что в том случае, когда потери в многополюснике равны нулю, суммарная мощность падающих волн /2(аНа) во всех плечах равна суммарной иощ-ности отраженных волн /{Ъ^Ъ).

Подставив b = [S]a в уравнение (2.2.17), получим

a a-[Sa] [Sa] = 0

или

aa-a**[S] [S]a = 0, a (/-(Sp[S])a = 0.

Так как а есть произвольная величина, то [/]-[S] [S] = 0. г

(2.2.18)

Соотношение (2.2.18) справедливо как в случае изотропного, так и анизотропного заполнения. Если заполнение изотропно, то [S]H = [S]*, так что

[S]* [S] = [SJ-1 [S] = [/]

[Sr=[sr.

(2.2.19) (2.2.20)

§ 2.3. НЕКОТОРЫЕ СЛЕДСТВИЯ ИЗ 0СН0Вн1>1Х СВОЙСТВ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ

В предыдущем параграфе были рассмотрены наиболее важные общие свойства матриц рассеяния. Все они получены из принятых определений и энергетических соотношений. Исследование реального СВЧ-уетройства состоит в нахождении его матрицы рассеяния и определении всех его свойств, которые вытекают из этой матрицы. При разработке нового устройства в большинстве случаев необходимо сначала, исходя из его назначения, определить требуемую матрицу рассеяния и уже затем синтезировать цепь, имеющую заданную матрицу рассеяния.

Необходимо еще раз подчеркнуть, что матрица рассеяния IS] отражает свойства, присущие данному многополюснику как высокочастотной цепи на заданной частоте. Нагрузки же иа зажимах

многополюсника могут меняться, не оказывая влияния на матрицу рассеяния. В частности, некоторые специальные типы нагрузок могут быть использованы для определения элементов матрицы рассеяния.

Приведем некоторые преимущества матрицы рассеяния [S] над матрицами проводимостей [у] и сопротивлений [1].

а. Как было отмечено в § 2.1, в технике СВЧ в идеальном случае используются генераторы, мощность которых остается постоянной при изменении нагрузки. Кроме того, в качестве выходного параметра гораздо удобнее использовать либо мощность, либо мощность и фазу, чем напряжение или ток. В технике СВЧ, кроме частоты, непосредственно можно измерить только КСВН (т. е. модуль и фазу Г) и мощность. Как следует из уравнений (2.1.17), (2.1.9) и (.1.10), эти измерения по существу эквивалентны изме-р^ниям величин Ьр/а^, Up р и Va bp р. Что касается матриц Iz] и [у], то аналогичных непосредственных измерений произвести нельзя, поэтому величины v и i удобны скорее для теоретических исследований устройств, чем для непосредственных практических измерений.

б. Свойство унитарности матрицы рассеяния [S] позволяет легко проверить условие баланса мощностей для устройства без потерь. При использовании матриц [z] и [у] проверить это условие оказывается затруднительным.

в. При изменении положения плоскости отсчета многополюсника, как будет показано ниже, будут меняться только фазы коэффициентов матрицы рассеяния. При тех же условиях коэффициенты матриц [г] и [у] будут меняться как по фазе, так и по модулю.

г. Наконец, при определенных условиях физической симметрии можно определить матрицу рассеяния [S], исходя только из геометрических соображений (см. гл. 3).

Наряду с преимуществами использования матрицы [S] полезно рассмотреть и некоторые ее недостатки. Матрица рассеяния определяет внешние свойства многополюсника как некоторого черного ящика , никак не отражая его внутреннее устройство. Она дает незначительную информацию о реально существующих полях внутри волноводного соединения, хотя при оцределенных условиях симметрии можно судить о распределении поля волны низшего типа.

Как правило, инженер сталкивается с проблемой определения (эмпирически или полуэмпирически) внутренних конструктивных элементов устройства. Такие свойства матрицы рассеяния, как симметрия или унитарность, ясно покажут ему, какие свойства многополюсника можно реализовать. Однако конструктор сам должен определить, как получить требуемые свойства.

Если число выходов устройства не превосходит двух, то перейти от матрицы [S] к матрице [у] или Iz] относительно просто. Кроме того, если устройство содержит элементы, обладающие активными потерями, то матрицы рассеяния не обладают свойством унитарности. Поэтому в случае двух- или четырехполюсника в зависимости от конкретных условий можно использовать для расчетов как матрицу [7] или [у], так и матрицу [S]. Если соединение имеет три и более входов, более разумно использовать матрицу IS].

Многополюсник имеет столько пар зажимов, ск,олько реальных волноводных ответвлений имеется в устройстве. Это справедливо только в том случае, если в каждом ответвлении может распространяться только один тип волны. Если в каком-то ответвлении могут распространяться несколько типов волн, то каждому типу волны приписывается одна пара зажимов. Эти типы волн могут быть либо высшими волнами (например, ТЕо или ТЕц в прямоугольном волноводе), либо вырожденными волнами в квадратном или круглом волноводе в том случае, когда учитывается поляризация волн.

Как отмечалось в начале этого параграфа, основная задача состоит в получении матрицы рассеяния многополюсника В общем случае эта задача может-быть решена путем измерений. Однако так как большинство практически используемых многополюсников обладает симметрией, то оказывается возможным определить все элементы матрицы рассеяния чисто аналитически, используя свойства симметрии. В некоторых случаях одни элементы матрицы [S] определяют экспериментально, а остальные расчетным путем. Если устройство не содержит анизотропных элементов и, кроме того, потери в нем пренебрежимо малы, то для определения коэффициентов матрицы рассеяния [5J используются два наиболее важных ее свойства - симметрия и унитарность.

Если определена матрица рассеяния устройства [S] и известны все составляющие вектора а, то найти вектор b довольно просто. В некоторых случаях к устройству может быть подключено несколько генераторов. Если, например, имеются два генератора (генераторы Л и £ на фиг. 2.3.1), то как амплитуды, так и фазы волн, идущих от этих генераторов ( 1 и а^), должны быть известны.

Следует отметить, что генераторы должны быть синхронизированы. Если генераторы А и Б не синхронизированы, то необходимо рассматривать равенства типа b = IS] а отдельно для каждой частоты. Полученные результаты затем складываются во времени. На входе 2 многополюсника (фиг. 2.3.1) 2, очевидно, равна нулю, а на входе 3 (закороченная линия) аз = -Ь^. В более общем случае к входу р подсоединена нагрузка с коэффициентом отражения Гор, следовательно,

ар-Гор&р. (2.3.1)

(2.3.2)

Отраженные волны на входах 1 vi 4 (активные входы) равны

где Го1 и Го4 - коэффициенты отражения, измеренные соответственно на входах 1 vi 4. Следовательно, в каждом конкретном случае составляющие вектора а, соответствующие пассивным входам.

Аттенюатор /

VI/ Генератор Б

Кораткозамыкающий поршень

Согласованная нагрузка

Фиг. 2.3.1. Многополюсник в рабочей схеме.

могут быть выражены через соответствующие коэффициенты отражения [уравнение (2.3.1) и составляющие вектора Ь. Для схемы, показанной на фиг. 2.3.1,

о

а= 4

Равенство b = [S] а можно записать в виде системы из д уравнений с п неизвестными, которые могут быть определены по правилу Крамера через известные коэффициенты матрицы рассеяния Sp, и параметры генераторов и а^.

Матрица рассеяния определена только для конкретных плоскостей отсчета. Если положение плоскостей изменить, то элементы

матрицы рассеяния также будут меняться, но только по фазе В случае использования матриц нормированных сопротивлений [г] или проводимостей [у] Vp (2р) и ip {Zp) изменяются в зависимости от Zp как по фазе, так и по амплитуде. С другой стороны, величины ар и bp остаются постоянными по амплитуде при изменении положения плоскостей отсчета (предполагается, что волновод не имеет потерь), так как обе эти величины определяются через мощность. Если плоскость отсчета для р-входа передвинуть на расстояние d, соответствующее углу Эр = 2л^/Я,в, в положительном направлении (к соединению), то фаза входной волны Ор уменьшится на угол Эр и станет равной

а; = аре-\ \ (2.3.3)

а фаза отраженной волны увеличится на угол Эр

(2.3.4)

В равенствах (2.3.3) и (2.3.4) а'ряЬ'р - соответственно падающая и отраженная волны в новой плоскости отсчета.

Если переместить плоскость отсчета первого входа на угол Э1, второго входа на угол Эг и т. д., то многополюсник будет иметь новую матрицу рассеяния [S], так что

[S]a = b. (2.3.5)

Элемент матрицы-столбца теперь запишется в виде

bp = spiai +sp2a2 + +spqag-{- .. . +Spna . (2.3.6)

Раньше он определялся так:

ftp = SpiOi-f Sp2Q2 + +Spqaq + . . . + SpaOn- (2.3.7)

Выразим Spq через Spq. Подставим уравнения (2.3.3) и (2.3.4) в (2.3.6)

bp = bpep=Spiaie-i+ .. . + SpgOge-Q + ... +Spnane-. (2.3.8) Сравнивая уравнения (2.3.7) и (2.3.8), получим

spg = spgep+i\ I (2.3.9)

Таким образом, при смещении плоскости отсчета входа р на угол Эр, а плоскости отсчета входа q на угол Э, фаза коэффициента матрицы рассеяния Spg изменится на величину, определяемую равенством (2.3.9). Отметим, что 9р (или 9,) может быть либо положительным (сдвиг к соединению), либо отрицательным, т. е. в сторону удаления от рассматриваемого многополюсника.

Если в плоскости отсчета входа р поместить пассивную нагрузку, имеющую коэффициент отражения Го, то, согласно