б. Из соображений геометрической симметрии всегда соблюдаются условия Si3=S23, Si4=- 24, 834 = 0, 8ц = 822-

в. Чтобы получить устройство типа согласованного двойного тройника, нужно сделать так, чтобы коэффициенты S33 и S44 независимо друг от друга равнялись нулю. В принципе для выполнения этого условия можно поместить соответствующие реактивные проводимости в любом сечении плеч 3 п 4. Однако на практике для уменьшения частотной чувствительности согласующие элементы желательно помещать как можно ближе к плоскости разветвления.

г. При соблюдении условия (в) автоматически следует, что Sii = S22 = 0. В том случае, когда потерями б соединении можно пренебречь, матрица рассеяния будет унитарной и Sij = s,4 р = V2.

Следует отметить, что из приведенных выше выкладок не было получено никаких данных ни о геометрической форме согласующих элементов (эта форма не единственная), ни о частотной чувствительности согласованного многополюсника (эта чувствительность зависит от согласующих элементов). Оба эти вопроса должны решаться полуэмпирически.

§ 2.6. ПРИМЕР ИСПОЛЬЗОВАНИЯ МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ

В том случае, когда для исследования высокочастотных цепей используются матрицы рассеяния, граничные условия наиболее удобно задавать в виде коэффициентов отражения в плоскостях отсчета [см. уравнение (2.3.2)].

а. Рассмотрим сначала случай четырех согласованных генераторов, синхронизированных по частоте и питающих двойной тройник, изображенный на фиг. 2.5.1. Если а„ Og, аз и 04 -нормированные падающие волны на входах /, 2, 5 и 4, то нормированные отраженные волны определяются соотношением

Ь = [5] а.

(2.1.16)

где [5] определяется из соотношения (2.5.16) при определенном выборе плоскостей отсчета. Запишем (2.1.16) в развернутом виде:

(2.6.1)

И найдем отраженные нормированные волны и соответствующие им мощности:

= -i.(fl3 + a4), P, = \b,\ = \\aз + a,\

Ь2 = (аз~а^), 63 = (1 + 2). bi = z{ai-a2).

Р2 = у|б2Р = 4аз- 4Р. Рз = \Ьз? = \\а, + а2\, P4 = 4-&4P = 4l i- 2P.

(2.6.2)

Рассмотрим несколько частных случаев, результаты для которых можно непосредственно получить из соотношений (2.6.2). 1. Если а, = 02 = 04 = 0, то

bi = a3, Pi = \\a3\

62 = :аз. Р2 = \\аг\,

63 = 64 = 0, Рз = Р, = 0.

(2.6.2а)

Волна Сз, входящая в плечо 3, делится на две равные по амплитуде и имеющие одинаковые фазы волны 61 и bz, при этом никаких отражений от входа 3 нет, а в плечо 4 мощность

не попадает.

(2.6.26)

(2.6.2b)

Два сигнала складываются в плече / и взаимно уничтожаются в плече 2; отражений от входов 3 и 4 нет.

(2.6.2г)

4. Если Сз = - С4 и Cl = 02 = О, то

b2 = V2a3, Р2 = азР,

61 = 63 = 64 = 0, Р^ = Рз = р,:=о.

Два сигнала складываются в плече 3 и взаимно компенсируются в плече /; отражений от входов 3 и 4 нет.

5. Если с2 = Сз = С4 = 0, то

61 = 62 = 0, Pi = P2 = 0,

1 . - - (2.6,2д)

64 = ai

3 = tI iP 4 = aiP.

Падающая волна Ui делится на две волны by и 64, равные по амплитуде и имеющие одинаковые фазы; отражений от входа / нет, мощность в^плечо 2 не попадает.

Падающая волна аз делится на две волны Ьз и 64, равные по амплитуде и противоположные по фазе; отражений от входа 2 нет, мощность в плечо / не попадает.

7. Если ai = a2 и 03 = 04 = 0, то

61 = 62 = 0, Pl = P2 = 0,

63 = /2о1, Рз = а,р, (2.6.2ж)

64 = 0, Р^О.

Две волны Oi и 02 складываются в плече 3 и взаимно компенсируются в плече 4; отражений от входов / и 2 нет.

8. Наконец, если С2= - Ci и 03 = 04 = 0, то

61 = 62 = 0, Pi = P2 = 0,

63 = 0, Рз = 0, (2.6.23)

64 = k2ai, 4 = 1

Две волны Ог и Oi, равные по амплитуде, но противоположные по фазе, складываются в плече 4 и взаимно компенсируются в плече 5; отражений от входов / или 2 нет.

б. Рассмотрим теперь два практических случая, когда сигнал подается в плечи 3 или 4, а другие плечи могут быть не согласованы. ,

1. Если в плечо 3 входит волна 03, а в плоскостях отсчета /, 2 н 4 коэффициенты отражения равны Tj, Гг и Г4, то из уравнения (2.3.1)

Oi = 11О1,

02=Г2б2, (2.6.3)

04 = Г4б4.

Подставив эти значения в уравнение (2.6.1), получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

0 + 0

61-Ь 0 +

62 + 0 +Г4б4 = аз,

Г262 + 63 +

0 = 0,

64=0.

(2.6.4)

Неизвестные б 62, 63 и 64 можно найти по правилу Крамера. Например,

- = /2

1-Г,Г

2 4

2-Г4 (Г,-ЬГ2)

Проведя аналогичные вычисления, получим -2-Г:(гГ+Г2)-з.

=У^2-Х<Г2>-

Г1--Гг-2Г1ГгГ4 2-Г4(Г1-ЬГ2) Г1-Гг

(2.6.5)

63 =

64 =

2-r4(r,-f Га)

Мощность, поглощаемая в каждом пассивном плече, равна разнице между мощностью, падающей на соответствующую нагрузку, и мощностью, отраженной от этой нагрузки:

P,=\{W-\a,f) = i\-\V,\-)

(2.6.6)

2-Г4(Г, + Г2)

Разность мощностей падающей и отраженной волн в плече 3 равна мощности, поглощаемой во всей системе:

з = у(азР-6зР) = у{азр-

Г1 + Г2-2Г1Г2Г4 2-Г4(Г1 + Г2)

(2.6.7)

Из соотношений (2.6.5) - (2.6.7) можно сделать следующие выводы. Если Г1 = Г2, то в плечо 4 мощность не попадает независимо от величины Г4. Коэффициент отражения от входа 3 оказывается равным Г1=Г2. В частности, если Г1 = Г2 = 0, то система согласована со стороны входа 3. Если Г4 = О, то 6, = независимо от того, выполняется ли равенство Г1 = Г2 или нет. Если Г4 = 0 и Fj = - F2, то система согласована со стороны входа 3.

2. Если волна 4 подается в плечо 4, а в плоскостях отсчета /, 2 н 3 коэффициенты отражения равны F F2 и Гд, то из уравнения (2.3.1) имеем

ai= Fjbj,

ai = F262, аз = F363.

(2.6.8)

После подстановки соотношений (2.6.8) в (2.6.2) получим систему из четырех уравнений с четырьмя неизвестными:

о

62

Гз6з + 0 =а4.

-Г363 + О =

-ГА-:Г2б2+ 6з + 0 =0,

-:7ГЛ+Г2б2+ 04-64 = 0.

Неизвестные 6 Ь^, 63 и можно определить по правилу Крамера

62=-/2 63 =

1-Г,Гз

2-Гз(Г,--Г2) Г1-Г2

(2.6.10)

2-Гз(Г,--Г2)

Г.-Ь Г2-2Г1Г2Гз 2-Гз(Г1--Г2)

Мощность, поглощаемая в каждом плече, равна разности мощностей падающей и отраженной волн в этом плече

Pi = y(l-riP)6ip,

Р2 = (1-Г2Р)62Р-

Рз = (1-ГзР)16зр.

(2.6.11)

Суммарная мощность, поглощаемая в системе, составляет

Р4=4-(1 4Р-б4Р).

(2.6.12)

Эта мощность должна равняться сумме (Р1 + Р2 + -Рз)-Уравнения (2.6.10) -(2.6.12) позволяют сделать следующие выводы. Если Fj F2, то в плечо 3 мощность не падает независимо от значения Fg. Коэффициент отражения от входа 4 равен Fi=F2. В частности, если Fi = F2 = 0, то система со стороны входа согласована. ЕслиГз=0, то ftj = -62 независимо от того, выполняется ли равенство Г, Рг- Если Рз = 0, то система будет согласована со стороны входа 4 в том случае, когда Fi=-Fg-Результаты, полученные в этом параграфе, можно непосредственно применить к анализу работы смесителей, балансных модуляторов и модуляторов с одной боковой полосой. Кроме того, введя соответствующие изменения, полученные результаты можно использовать при анализе гибридных соединений и трехдецибель-ных направленных ответвителей, которые рассматриваются в гл. 3 и 4.