Главная  Применение сверхвысоких частот 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

ГЛАВА 3

Симметричные устройства

§ 3.0. ВВЕДЕНИЕ

Устройства СВЧ, Vсимметричные в пространстве, имеют ряд свойств, благодаря которым они находят широкое применение. Важным является то обстоятельстю, что эти свойства могут быть легче предсказаны из общих соображений, чем получены из опытов.

Вывод свойств симметричных устройств, или вывод матрицы рассеяния, которая отображает эти свойства, основывается на соображениях пространственной симметрии. Пространственная симметрия в свою очередь может быть описана с помощью геометрической матрицы [G]. При рассмотрении действия матрицы [G] на электрические поля будет показано, что матрицы [G] и [S] обладают коммутативными свойствами, т. е. [G] [5] = [5] [G]. Этот на первый взгляд простой факт обеспечивает связь между пространственными и электрическими свойствами, между свойствами объекта исследования (оболочки) и свойствами полей внутри него (содержимого). Общий вид матрицы рассеяния [S] может быть установлен при коммутации матрицы 5] и всех возможных геометрических матриц [G].

Не представляет труда и получение более определенных соотношений между коэффициентами рассеяния. Это достигается рассмотрением собственных векторов и собственных значений, определяемых далее (§ 3.2). Формальное преобразование особенно несложно в случае аксиально симметричных устройств (четырехполюсников, F-соединений, крестовидных соединений, соединений типа звезд), но оно не может быть применено, когда симметрия устройств неполная . В этом случае должна быть проявлена изобретательность, чтобы получить все недостающие сведения. Однако такая работа вполне вознаграждается, так как в результате ее проведения определяются не только матрицы рассеяния, но и предсказываются изменения, которые необходимо осуществить с устройствами, чтобы улучшить их характеристики. Наглядным примером этого является F-циркулятор, рассмотренный в приложении VHI.

В настоящей главе рассматриваются четырехполюсники, трой-никовые соединения, F-соединения, направленные ответвители со связью по узкой и по широкой стенкам волновода и турникетные соединения. Применение этих устройств обсуждается как в этой главе, так и в гл. 8.

§13.1. КОММУТАТИВНОЕ СВОЙСТВО МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ IS] И МАТРИЦЫ СИММЕТРИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА [01

а. Рассмотрим электромагнитное поле в каком-либо устройстве. Решение уравнений Максвелла определяется только средой, в которой распространяется электромагнитное поле, частотой и граничными условиями. Решение не зависит от используемой системы координат или от положения устройства в пространстве [это становится очевидным, если рассматривать векторную форму уравнений Максвелла (1.1.7)]. В частности, устройство может быть

С Q ) ( Q\)

Фиг. 3.1.1. Операция поворота.

повернуто целиком или переведено в новое положение без какого-либо изменения поля внутри устройства. По отношению к фиксированным в пространстве плоскостям отсчета поля, соответствующие обоим положениям устройства, являются решениями (т. е. они могут существовать).

б. Если устройство симметрично относительно некоторой оси, то возможна операция симметричного преобразования - поворот относительно оси симметрии, в результате которого отдельные элементы устройства меняются местами, в то время как геометрическая форма устройства в целом не меняется. Так, устройство, изображенное на фиг. 3.1.1, может быть повернуто на 180° около оси симметрии /. Начальное а и конечное б положения устройства ничем не отличаются, кроме маленькой метки х. Этот поворот Б соответствии с данным определением является единственно возможной операцией симметричного преобразования, не считая тривиального поворота на 360°.

б'. Другой важной операцией симметричного преобразования является отражение относительно плоскости симметрии. Такая гипотетическая операция показана на фиг, 3.1.2, где метка переходит на верхнюю правую часть устройства. Заметим, что отражение



относительно плоскости симметрии не является физически реализуемым; отраженные поля не будут решениями уравнений Максвелла. Из рассмотрения вектора Пойнтинга следует, что если в части устройства фазовые соотношения между электрическим и магнитным полями таковы, что мощность распространяется направо, то отраженные поля будут иметь те же самые фазовые соотношения, и в результате мощность будет распространяться не налево, а снова направо [41. Такая операция симметричного

р

Фиг. 3.1.2. Операция отражения.

преобразования возможна только при рассмотрении одного магнитного или одного электрического поля. Так как нормированные волны определены через электрические поля, то они и будут рассматриваться в дальнейшем.

в. Если устройство симметрично и имеет соответственные симметричные плоскости отсчета (симметричные как по месторасположению, так и по направлению распространения энергии), то применение допустимых операций симметричного преобразования приведет к взаимной замене симметричных плеч и электрических полей в этих плечах. Такой же результат получится, если произвести только преобразование полей, так как начальное и конечное положения устройства неразличимы.

г. Операция симметричного преобразования может быть описана матрицей симметрического оператора [G1, который преобразует электрические поля а -Ь b или а, или b в поля а' 4- Ь' или а', или Ь' соответственно. Таким образом,

[G]a = a,

[G]b = b, (-

где а' и Ь' - также решения, т. е. они могут существовать и удовлетворять граничным условиям.

Симметрический оператор [G1 должен быть найден на основе общих рассуждений. Так как а' является не чем иным, как совокупностью элементов а (ор и йд поменялись местами или заменен на -аг), то коэффициенты матрицы [G1 должны быть равны либо О, либо ±1, с одним и только одним коэффициентом в строке, отличным от нуля, в противном случае поле в одном плече должно было быть заменено суммой или разностью полей в двух или более плечах или должно было полностью исчезнуть. Столбец также должен содержать не более одного коэффициента, отличного от нуля. В противном случае некоторые поля нужно было умножать два раза или более. Следовательно, в матрице [G] имеется по одному коэффициенту в строке и в столбце, отличному от нуля.

Поскольку матрица [G1 имеет по одному коэффициенту в строке и в столбце, отличному от нуля, то можно показать, что она ортогональна, т. е.

[СГ [G] = [/].

(3.1.2)

Так как [G] реальна, то она также унитарна (см. приложение I). Из определения обратной матрицы следует, что \GY{G] = = [/]. Значит,

[G\- = [Gf. (3.1.3)

д. В соответствии с уравнением (3.1.1) можно записать

, [S]a = b, (3.1.4)

так как а' и Ь' удовлетворяют граничным условиям в устройстве, матрицей рассеяния которого является [S]. При подстановке уравнений (3.1.1) в уравнение (3.1.4) и с учетом

[Sla = b

получается

[S1 [Gla=[Glb=[Gl [Sja.

Из уравнения (3.1.5) непосредственно следует, что

[S1[G1 = [G] [S\.

(2.1.16) (3.1.5)

(3.1.6)

Уравнение (3.1.6) подтверждает, что матрицы [G] и [S] коммутативны. [G] и [5] являются также подобными матрицами. Как будет показано в следующем параграфе, [G] и [S] имеют одни и те же собственные векторы (с определенными ограничениями).

Уравнение (3.1.6) является ключом к теоретическому определению матрицы рассеяния [S] из соображений симметрии.



§ 3.2. СОБСТВЕННЫЕ ЗНАЧЕНИЯ

а. Пусть [G] есть квадратная матрица порядка п, а матрица-столбец а удовлетворяет условию

[G]a = gra,

(3.2.1)

где - комплексная скалярная величина.

Уравнение (3.2.1) называется уравнением в собственных значениях, g есть собственное значение матрицы [G] и а есть собственный вектор [G], соответствующий g.

Пример. Допустим, что s есть собственное значение матрицы рассеяния [5], а а есть собственный вектор, соответствующий s. Уравнение

[5]a = sa = b (3.2.2)

содержит систему, состоящую из п совместных уравнений, где любая отраженная волна bp связана с падающей волной Ср с помощью одной и той же константы s, т. е.

6p = SCp.

Если соединение без потерь, то

Is=l.

(3.2.3)

(3.2.4)

В противном случае общая падающая мощность была бы больше или меньше, чем общая отраженная мощность. Эта ситуация соответствует полному отражению волн (с одинаковой фазой) от каждого из входов устройства.

Выражение (3.2.2) описывает частный случай включения п генераторов, фазы и амплитуды которых находятся в определенном соотношении. Значение матрицы-столбца а, при котором выполняется (3.2.2), не единственное. Ниже будет показано, что имеется п собственных значений (некоторые из них могут быть идентичными) и соответственно по крайней мере п собственных векторов.

\/б. Правая часть уравнения (3.2.1) может быть перенесена в левую

([G]-g[/])a = 0. (3.2.1)

Это соотношение можно рассматривать как систему из п совместных уравнений, определяющих а через коэффициенты матрицы ([G] - glI]). Собственный вектор а не равен нулю только в случае, если детерминант этой системы равен нулю

/(gr)sdet([G]-grm=0.

(3.2.5)

Функция fig) носит название характеристического уравнения. Если раскрыть уравнение (3.2.5), то оно приводится к полиному степени п

f (8) = (§Г + Cl ig) - -f ... + c i (g) + cn, (3.2.6)

n корней этого уравнения g, g, g, gr представляет собой n собственных значений матрицы [G).


Фиг. 3.2.1. Падающие и отраженные волны, соответствующие собственному решению.

В. Собственный вектор а', соответствующий g\ определяют с точностью до постоянной из уравнения

а

(3.2.7)

где c f pg является алгебраическим дополнением (р, <7)-го элемента матрицы {[G\-g[I]) и р может быть любой строкой.

Пусть [Cij] S {[G] - g[I]). Уравнения (3.2.Г) примут следующий вид, если р-ю строку сделать равной дифференциалу Ър.

111 + С12С2Ч- ... -1-Ci a = 0,

аА + C22u!2-f ... -ЬС2 а„ = 0,

Cplfli -f СрзСз -f- . . . -t- CpnOn = вр,

7.iOi + 6 2a2+ ... -t-c a = 0.



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 [ 15 ] 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81