Коаксиальная линия

Волны типа ТЕМ

Ег = ±А^[]/±.] (i-)cosH + Y2 + (p±),

Я. = 0,

Яв = (-i) COS ((0 + Y2 + ср±), Я, = 0.

(1.2.5)

В этих уравнениях ТЕ, ТМ и ТЕМ относятся соответственно к поперечным электрическим, магнитным и электромагнитным

Фиг. 1.2.1. Системы координат.и размеры волноводов.

а - прямоугольный волновод; б - волновод круглого сечения; в - коаксиальная лнння.

,волнам; т, -индексы типов волн, связанные соответственно с координатами х или в, у или г; -Л =-действительная величина, значение которой определяется полной мощностью, передаваемой

по волноводу; у -постоянная распространения ); Яв-длина волны в волноводе; К-длина волны в безграничном пространстве, заполненном рассматриваемым диэлектриком; /fee - критическое волновое число; Jm

(л:)-функция Бесселя первого рода /п-го порядка от аргумента х; ф± -начальный фазовый угол.

Подробный анализ уравнений (1.2.1)- (1.2.5) выявляет три важных свойства, которые позволяют перейти к понятиям цепей ,

Свойство i. Отрезок волновода длиной d можно характеризовать передаточной функцией е- * .

Каждую составляющую поля в любом случае можно записать

в форме /( 2, Из)со8((о^ +у2 + ф±), где Л^* - действительная величина; / ( 2, з)-функция только поперечных координат; cos((o/+ у^ + ф*) определяет зависимость от времени и продольной координаты. Здесь важно отметить, что, хотя величина самой составляющей будет изменяться в зависимости от t при заданном г или от г при заданном t по синусоидальному закону, амплитуда этой синусоиды для заданных поперечных координат остается постоянной вдоль координаты г.

Запищем теперь составляющие поля в комплексной форме Af {иг, из)е'(<** р'+*). При этом уравнения (1.2.1) примут вид:

£. = о,

Я,= ± Л* [) sin () cos () еИ тт-+Ф±), (1.2.1>

Я, + Л± ()cos(-)cos(-)eH>W*±),

Я, = -/Л^ cos [) cos (-) еИо>Т^.+Ф±).

Свойство I станет очевидным, если учесть, что фаза волны уменьшается на величину yd (увеличивается на -yd), если z изменяется от О до d (положительная волна) или от О до -d (отрицательная волна).

1) Определение постоянной распространения, принятое здесь, нескольк* отличается от определения, проводимого во многих других работах. Прн дан ной системе условных обозначений волна распространяется без затухания если Y-действительное число; волна не распространяется, если у -мнимое число (y = P - joLi где Р - фазовая постоянная, а - затухание). Эта символика подчеркивает симметрию времени t и расстояния г, частоты ю и постоянной распространения у.

Свойство II. В бесконечном волноводе поперечные электрическое и Магнитное поля ортогональны в пространстве и совпадают по фазе. Отношение любой поперечной составляющей электрического поля к поперечной составляющей магнитного поля есть постоянная действительная величина, не зависящая от положения поперечного сечения и различающаяся в некоторых случаях только знаком).

Это отношение называется характеристическим сопротивлением волновода %о, выраженным в терминах полей 2). Величина % является положительной для волн, распространяюшихся в положительном направлении оси 2, и отрицательной-для противоположного направления. Таким образом, для любого типа волн в прямоугольном волноводе

В случае круглого волновода

Не н.

(1.2.6)

(1.2.7)

Как видно из уравнений (1.2.1) -(1.2.5), сопротивление для волн типа ТЕ определяется выражением

для волн типа ТМ

а для волн типа ТЕМ

(1.2.8)

(1.2.9)

(1.2.10)

Для двухпроводных линий с воздушным наполнением (тип колебаний ТЕМ) имеем

So = rio. (1.2.10)

Свойство III. Продольные составляющие волн типов ТЕ и ТМ не входят в выражения активной мощности. Мощность можно выразить либо через поперечную составляющую Et вектора Е,

1) Это различие в знаке, пренебрегаемое-некоторыми авторами, не должно смущать читателя. Отношение Et к Я( положительно в том случае, когда энергия распространяется в положительном направлении оси г, и отрицательно в противоположном случае. В обоих случаях используется правовинто-вая система координат.

2) Другое определение характеристического сопротивления см. в § 1.6.

либо через поперечную составляющую Hf вектора Н и сопротивление %о.

В обшем случае [см. уравнение (1.1.10)] средний по времени поток активной мошности, проходяшей через поперечное сечение волновода, определяется как действительная часть интеграла по поперечному сечению вектора Пойнтинга

JRe { J [EH*]da} =-i-Re { J [Е^НЛ da} . (1.2.11)

Таким образом, продольная составляюшая (Я^ для волн типа ТЕ и Е^ для волн типа ТМ) не играет абсолютно никакой роли в передаче мошности в направлении оси г. В поперечном же направлении передачи мощности нет, так как продольные и поперечные составляющие поля сдвинуты относительно друг друга по фазе на 90°.

Поскольку в бесконечном волноводе Ег и Нг совпадают по фазе и ортогональны друг другу, Е( можно выразить через Нг и So. и наоборот. Таким образом,

P = \\Et\\Ht\da = \\Etfda = \\Ht\a, (1.2.12)

где \ Et \ - модуль комплексной амплитуды вектора Е^.

С точки зрения передачи энергии бесконечно протяженный волновод аналогичен длинной линии с характеристическим сопротивлением %а\ величина I £( Р da аналогична V р; выражение I Ht \da аналогично / р, где V - напряжение, а / - ток.

Полевая задача о распространении электромагнитной энергии может быть рассмотрена более простыми и более известными методами теории цепей.

§ 1.3. ДВУХПОЛЮСНИК

Если волновод содержит неоднородность или включен на некоторую нагрузку, то в направлении оси z должны быть наложены граничщле условия. Решением волновых уравнений (1.1.8) является линейная комбинация волн, распространяющихся в положительном направлении оси z (падающие волны), и волн, распространяющихся в отрицательном направлении (отраженные волны). Так как обычно число типов волн, которые могут распространяться в волноводе, ограничено одним (только в этом случае возможно простое аналитическое решение задачи), то в дальнейших выкладках предполагается, что в правильно сконструированном волноводе на некотором

расстоянии от неоднородности существуют только одна падающая и одна отраженная волны, причем поперечные эпюры этих волн одинаковы. Падающая поперечная электрическая волна имеет вид

(1.3.1)

а отраженная

(1.3.2)

Величины \ Eg \ и \ Е~ \ являются условными амплитудами падающей и отраженной волн и пропорциональны напряженностям поперечных электрических составляющих соответствующих волн.

Генератор

Фиг. 1.3.1. Двухполюсник: обозначения и система координат.

Разность начальных фаз (ф~ - ф+) определяется только характером неоднородности. Это позволяет рассматривать Et и Ео как комплексные функции аргументов ф+ и ф ; в выражения для Ei и Ei начальные фазовые углы ф+ и ф при этом явно не входят. Продольная составляющая электрического поля, равная нулю для волн типа ТЕ, не рассматривается также и для волн типа ТМ, так как она не играет никакой роли в передаче энергии.

Для простоты, не теряя общности, рассмотрим неоднородность, расположенную в плоскости z = 0. Коэффициент отражения Г в этом случае определяется как отношение отраженной поперечной электрической волны к падающей поперечной волне в месте неоднородности

Г --EL Ei

(1.3.3)

Величина Го имеет модуль \EqIEo\ и фазу фО = ф -ф+. В том случае, когда рассматриваются поперечные магнитные поля, отно-

шение напряженностей отраженной и падающей волн равно -Го(а не Г„)1)

Hi т

- - -1 о-

(1.3.4)

Комплексная амплитуда суммарного поперечного электрического поля E{z) равна сумме поперечной составляющей падающей волны Ei и поперечной составляющей отраженной волны Ej

Е (Z) =Ei + Ei = Ei [ei C--v) + ГоС' ( +v)]. (1.3.5) Аналогично для суммарного магнитного поля

Я (г) = т + Нт = т [е^ - Гоб^ -*+v)]. (1.3.6)

Вынося ei( -t2) 33 скобки из уравнений (1.3.5) и (1.3.6), получим

Е {z) = Etei [1 -f Тое^уг] ЕЦ1 + Тде^у^ (1.3.7)

Я (2) = Я^е^- --) [1 - Тое'У'] = Hi[l- Тое'У']. (1.3.8)

Огибающая поля £ (2) или Я(2), определяемая уравнениями (1.3.7) и (1.3.8), т. е. зависимость максимальной амплитуды поля от координаты z, называется стоячей волной. Она не зависит от времени и, если волновод не имеет потерь, является периодической кривой с периодом, равным половине длины волны. Уравнение этой кривой имеет вид I -\-Tf,eiy\.

Коэффициент отражения в плоскости z составляет

),

(1.3.3)

Модуль его равен Го, а фаза является непрерывной функцией координаты 2. Из уравнения (1.3.7) следует

r=roeJ2vz. (1.3.9)

Определив таким образом коэффициент отражения Г, можно записать уравнения (1.3.7) и (1.3.8) следующим образом:

£(2) = £П1 + Г], (1.3.7)

Я(2) = ЯП1-Г]. (1.3.8)

Назовем коэффициентом стоячей волны напряжения (КСВН) отношение максимального значения Е (2) (Г - действительная

1) Это соотношение можно легко обосновать, рассматривая уравнения (1.2.1) -(1.2.5), в которых для волн типа ТЕ электрические составляющие поля не меняют знака при изменении направления распространения, а магнитные составляющие меняют, и, наоборот, для волн типа ТМ электрические составляющие меняют знак с изменением направления распространения, а магнитные составляющие нет.