Главная  Применение сверхвысоких частот 

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

такой фильтр является прозрачным . В § 7.6 рассматриваются свойства систем, состоящих из нескольких одинаковых ячеек и двух полуячеек на концах, и сравниваются свойства этих систем с фильтрами, созданными на основе распределений Баттерворса и Чебыщева. Такие системы находят применение не только в качестве фильтров, но и для создания дифференциальных фазовращателей.

Таким образом, исследование периодических систем открывает новый подход к проблемам щирокополосного согласования (§ 4.1) и фильтров с непосредственной связью (§ 6.2 и 6.3). Рассмотрение соответствующей исходной модели фильтра нижних частот дополняется приложением XVIII.

§ 7.1. ТЕОРЕМА ФЛОКЕ

Предположим, что передающая линия имеет вид, показанный, на фиг. 7.1.1, а. Через L обозначен пространственный период

7777

---ь-


Эпюра электрического тля

Фиг. 7.1.1. Периодическая замедляющая система и возможное распределение электрического поля в ней.

ЛИНИИ, т. е. расстояние между соседними неоднородностями. Передающая линия не ограничена в обоих направлениях. На фиг. 7.1.1, б показано предполагаемое распредатение поперечного электрического поля. В каждой последующей ячейке передающей линии картина стоячей юлны электрического поля будет повторяться с точностью до коэффициента затухания, а фаза в каждой соответствующей точке будет отличатьсяна постоянную величину, так как распределение поля в ячейках одинаково из-за идентичности граничных условий (в двух соседних ячейках могут быть различны только амплитуды поля и фазы на открытых границах ячеек).

То же самое справедливо для всех других составляющих поля, которые впредь будут называться юлновыми функциями . Эти соображения обобщены в следующей теореме Флоке:

На данном типе волны и на данной частоте в стационарном режиме волновая функция w (г + L) ъ точке с координатой (г + L)

равна волновой функции w (z) ) в точке с координатой z, умноженной на комплексную постоянную .

Если в точке с координатой z волновая функция равна w (2), то в точке с координатой (2 + L) юлновая функция может быть представлена в виде

w{z + L)=w{z)e-iyoL, (7.1.1)

где /уо = о + /Ро - комплексная постоянная.

Например, пусть поперечное электрическое поле в пределах ячейки определяется соотношением

w(z) = E (2) = £;еЯ<в(-v.z) (2), (7.1.2)

где Ye - постоянная распространения в волноводе без неоднородностей. Функция /(2) представляется в виде

/(2)=1 + Г(2).

Модуль этой функции определяет картину стоячей волны, причем Г (2) есть коэффициент отражения в точке с координатой z [см. уравнение (1.3.7)]. Величина Г (2) учитывает отражения от всех неоднородностей справа от точки с координатой z и, следовательно, постоянна по модулю вдоль оси z только в гладкой области.

В сечении с координатой (2 + L) волновая функция £ (2 + L) имеет следующий вид:

£ (2 + L) = £;еЯсог-у,(гЧ-х.)-Ф] [ 1 + г (2 + L)], (7.1.3)

где ф есть фазовый сдвиг, обусловленный неоднородностью. По теореме Флоке

Г(2 + £) = Г(2),

так что

£ (2 + L) = £ (2) е-(т,-+Ф) = £ (2) e-ivo-.

Следовательно,

(7.1.4) (7.1.3)

То = Тв + - (7.1.5)

Эта величина является постоянной распространения периодически нагруженного волновода.

Волновую функцию w{z) = E (2) можно теперь записать в виде

ш (2) = £ (2) = £+еЛ < -vo)/ (2). (7.1.6)

Из сравнения уравнений (7.1.2) и (7.1.5) следует, что Vo является усредненным значением постоянной распространения электромагнитной волны.

1) Эта волновая функция определяет зависимости полей от поперечных координат таким же неявным образом, как и Е (г) [уравнение (1.3.5)] или v (г) [уравнение (1.4.1)].



Полученные соотношения могут быть использованы как для передающих линий, построенных на основе обычных гладких волноводов, так и для периодической системы произвольного поперечного сечения. -

Функция / (z), которая в случае линии, изображенной на фиг. 7.1.1, определяла картину стоячей волны в гладкой части волновода, может стать очень сложной в пределах пространственного периода структуры, если сама передающая линия сложна. Эта функция может быть теперь рассмотрена как характеристика, периодически модулирующая функцию £+е/( ->ог) по амплитуде и фазе. Естественно представить функцию / (z) в виде суммы гармоник Фурье, названных при рассмотрении данных задач гармониками Хартри,

. 2лпг

(7.1.7)

где

. 2япг

а„ = 4- I fi) dz, /1 = 0,

1, 2, 3,

-1, -2, -3, ....

так что

{z) = Et 2 ei( (-vo), п = 0.

1, 2, 3, -1, -2, -3, ... .

(7.1.8)

Для п-й гармоники Хартри можно записать

. япг

где

Тя = То -

(7.1.9)

(7.1.10)

Нулевая гармоника о называется основной гармоникой и характеризует падающую бегущую волну. Ей соответствует постоянная распространения уо, которая обычно положительна и по величине меньше всех других у„ [заметим, что все у„ удовлетворяют уравнению (7.1.3)]. С другой стороны, нулевая гармоника о была бы равна функции w (z), если множитель / (z) равнялся единице. Рассмотрим подробнее выражение

/То = ао + /ро. (7.1.11)

Остановимся на следующих трех случаях:

1. Если Ро = о, то все гармоники Хартри затухают от ячейки к ячейке. Основная гармоника не претерпевает фазового сдвига

при переходе к следующей ячейке, однако гармоники более высоких порядков имеют фазовый сдвиг [уравнения (7.1.9) и (7.1.10)].

2. Если о = о, то все гармоники распространяются без затухания.

3. Если о = о, Ро = о, то имеет место распространение гармоник и одновременно рассеяние мощности СВЧ. Однако если периодическая система не имеет потерь, то коэффициент уо может быть либо чисто действительным, либо чисто мнимым, как и в случае простых волноводов.

Положим, что передающая линия не имеет потерь, так что

Yo = Po, (7.1.12)

где Ро - действительное число. Уравнение (7.1.10) принимает вид

Р = Ро + -- (7.1.10)

Таким образом, п-ю гармонику Хартри можно рассматривать как волну с фазовой постоянной р„, связанной с Ро уравнением (7.1.10). Если п - отрицательное число, то фазовая постоянная также отрицательна. Заметим, что случай р„ ф Ро представляет интерес, когда рассматривают поведение волны только в пределах ячейки. Фазовый сдвиг для всех гармоник Хартри при переходе от фиксированного положения в одной ячейке к такому же положению в соседней ячейке равен Ро..

Длина волны п-й гармоники записывается так:

Я„ = = , (7.1.13)

а ее фазовая скорость определяется из выражения

(7.1.14)

Таким образом, как Я„, так и иф уменьшаются с увеличением номера гармоники п. Кроме того, иф отрицательна, если п-отрицательное число.

Групповая скорость равна

da da dPo da /7 i 1сч

поскольку dPo/dPn = 1 из уравнения (7.1.10). Итак, на данной частоте все гармоники Хартри имеют одну и ту же групповую скорость.

На фиг. 7.1.2 показана типичная ю - Р-диаграмма. Некоторый диапазон изменения частоты ю соответствует полосе пропускания



(Ро ф 0). Пусть рабочая частота равна (Oj. Первая точка пересечения линии (О = (Oi с правой частью кривой ю = / (Р) соответствует основной гармонике, имеющей фазовую постоянную Ро- Фазовая скорость равна vo = >i/Po. тогда как групповая скорость frp равна тангенсу угла наклона касательной к кривой в точке ее пересечения с линией (О = <лу.

Часть кривой сразу же слева от оси ю не имеет физического смысла, но приобретает реальность, если энергия передается


Фиг. 7.1.2. Типичная со - Р-диаграмма. / - обратная гармоника (tJj,p> О, Иф < 0); 2 - часть диаграммы, соответствующая сигналу, распространяющемуся в отрицательном направлении.

ПО ЛИНИИ в отрицательном направлении. Таким образом, диаграмма (О - р симметрична относительно оси (о, если учитывать также фиктивные участки кривой ю = (Р).

Кривая вблизи точки Pi = Ро + (2я/1) имеет тот же наклон касательной, что и при Ро, т. е. первая гармоника имеет групповую скорость, равную групповой скорости основной гармоники. Эта Pi-ветвь идентична Ро-ветви. Фазовая скорость здесь иф1 = (Oi/Pj меньше Уфо.

Точка Р-1 = Ро - (2я/1) соответствует обратной гармонике . Она имеет также положительную групповую скорость, как и все другие гармоники, но ее фазовая скорость отрицательная. Заметим, что

1Ф(-1)<1Фо-

По диаграмме 7.1.2можно определить фазовую постоянную любой гармоники для данной структуры. Однако определить амплитуды пространственных гармоник, которые зависят как от геометрии структуры, так и от частоты, по этой диаграмме нельзя. В некото-

рых частных случаях может существовать только одна волна (ненагруженный волновод) или две волны (полностью развязанные резонаторы). Во всех других случаях определение амплитуды пространственных гармоник является очень сложной задачей, связанной с определением распределения поля в структуре.

§ 7.2. ЭКВИВАЛЕНТНАЯ СХЕМА БЕСКОНЕЧНОЙ ПЕРИОДИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ

Рассмотрим случай, когда параметры эквивалентной схемы каждой ячейки периодической системы известны. Иначе говоря, положим, что полевая задача уже решена. Эквивалентная схема бесконечной передающей структуры диапазона СВЧ показана на

[Z] или ГУ]

::rC

Фиг. 7.2.1. Бесконечная периодическая система с заданными [Z] или [К].

фиг. 7.2.1. Соотношения между напряжениями и токами определяются с помощью матрицы сопротивления [Z]

Vi = Zii/i + Zi2/2, 2 = Z21/1 + Z22/2

(7.2.1)

или матрицы проводимости [Y]

/l = l llVi + ri2V2, /2 = 72iVi+F22V2-

(7.2.1)

Заметим, что в приведенных формулах фигурируют абсолютные значения напряжений и токов (см. § 1.6). Это упрощает исследование неоднородностей, тем более что не всегда можно провести нормировку.

Как будет показано ниже, удобно изменить направление тока /2 так, чтобы все токи были направлены вправо. Тогда выходной ТОК и выходное напряжение одной ячейки становятся входным током и входным напряжением следующей ячейки (матрица ABCD, приложение XI). Если среда изотропна, то Zi2 = Z2i и 112 = 721,



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 [ 55 ] 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81