(II.2)

ТЕОРЕМА ФОСТЕРА

Рассмотрим двухполюсник без потерь. Запишем уравнения Максвелла (1.1.7) в следующем виде:

rot Е = - /сорН,

rotH = /a)eE. (II. 1)

Возьмем комплексно сопряженную величину от второго уравнения. Тогда получим систему уравнений

rot Е = - /сорН,

rotH*= -/соеЕ*.

Пусть круговая частота со изменится на малую величину dm, что приведет к соответствующим изменениям Е, Н и Н* на dE, dli и dH*. Уравнения (II.2) в этом случае примут вид

rot (Е + dE) = - j (со + da) ц (Н -f dH),

rot (H* + dH*)= + du>) e [E* + dE*].

Вычитая уравнения (II.2) из уравнений (11.3) и пренебрегая величинами второго порядка .малости, получаем

rot dE = - /сор dH - / dcopH, rot dH* = - /сое dE* - / dcoeE*. Запишем следующее тождество:

div{[EdH*]-[dEH*]} = = (dH* rot E - E rot dH*) - (H* rot dE - dE rot H*). (II. 5) После подстановки в него уравнений (II.2) и (II.4) имеем div {[Е dH*] -i- [dEH#]} = (- /соцН dH* + /соеЕ dE* + + / d(ueE*E) - (- /соцН* dH - / dcopHH* +

+ /юеЕ* dE) = / dio (e I £ 2 + p IЯ P). (II.6)

Интегрируя уравнение (II.6) по объему двухполюсника и применяя теоремы Остроградского -Гаусса, получаем

J {[Е dH*] - [dEH*]} da = / dco (i 1Я р + е I £ 2) dv, (II.7)

(II.4)

где интеграл в левой части берется только по поперечному сечению плоскости отсчета (§ 1.5). Обозначим

[EdH*]da через -vdi* [уравнение (1.4.3)]i),

[dEH*]da через -dvi* [уравнение (1.4.3)],

e£pdu через 4t/£; [уравнение (1.1.И)],

H\H\dv через 4f/ [уравнение (1. 1.12)].

Подстановка этих обозначений в уравнение (II.7) дает

vdi* - dvi* = -4jdw{UE + UH), (П.8)

где V и i определяются в квадратурах. По определению

dv = dzi + zdi.

С учетом уравнений (II.9) уравнение (II.8) преобразуется к виду zi di* - dzii* - zi* di = -4j dco {Ue + Uh),

или

/pdi = 4/dco(f/B + f/ ), (II. 10)

так как i di* = i* di.

Если потери в двухполюснике отсутствуют, то z = jx является чисто реактивным сопротивлением, т. е. х - действительная величина. Запишем теперь уравнение (11.10) в виде

Так как величины Ue, U и \i\ являются действительными и больше нуля, то

#>0 ( -12)

т. е. наклон кривой зависимости реактивного сопротивления от частоты всегда положителен.

(II.9)

) Относительно знака - см. сноску на стр. 43.

Аналогичные рассуждения можно провести относительно проводимости у двухполюсника без потерь: у = jb, где действительная величина.

Подставляя

i* = y*v*

di* = dy*v* + y*dv* в уравнение (II.8), получаем

V {dy*v* + y*dv*) - y*v*dv = - 4/d(o (Ue + U), или, так как v dv* = v* dv,

\v\dy*=-Aidio{UE + Ua). Поскольку d-jdb, уравнение (11.14) дает

(11.13)

db da

(П. 14)

(11.15)

Таким образом, кривая зависимости реактивной проводимости от частоты также имеет положительный наклон.

Полученные результаты легко можно обобщить на многополюсник. В этом случае уравнение (II.7) запишется в виде

J {[EdH*l-[dEH*]}da = 4/d(o(f/E + f/H), (ПЛб)

где поверхностный интеграл берется по площади всех плоскостей отсчета.

Выразим уравнение (11.16) через Vp и ip

2 {Vj4i*p-dVpit)=-4jdo>{UE + UH).

Так как

<г=1

то можно записать, что

dVp= 2 (dZpqiq + Zpgdig), g=i

(П.17) (1.4.18) (П.18)

и уравнение (11.17) тогда преобразуется к виду

2 Г( 2 ZpJg] dip- { S (dZpgiq + Zpgdig) I it, = -4fdco{UE + Un).

Если, как и раньше, Zpq = }Xpq, то последнее уравнение упростится

2 2 icii*pd~Zpq = 4/ d(o {Ue + f/н) (П. 19)

p=l g=l

ИЛИ

2 2 M- = 4(f/ + f/H)>0.

Можно показать с помощью правил, приведенных в приложении I, что

(11.20)

2 S iqipXpq - iXili* in

p=l q=i -

XiiXi2 . . . Хщ X21X22 X2n

XniXn2 . . Xnn

где вместо dxpg/dto стоит Хщ, или в сокращенной форме

= 4{UE + Ua)>0, {11.21}

iH[x]i = 4(f/E + f/H)>0. (11.21)

Можно показать, что из уравнения (II.2Г) следует [33]

det[xl>0. (11.22)

МАТРИЦЫ РАССЕЯНИЯ ПРОСТЕЙШИХ ЧЕТЫРЕХПОЛЮСНИКОВ

1. Идеальный трансформатор

~ Рассмотрим идеальный трансформатор (фиг. 111.1) с отношением витков п:\. Выходные величины напряжения и тока Уг и г'г можно

i, n:i i.

Фиг. III.1. Идеальный трансформатор, выразить через входные величины Vi и следующим образом:

(II1.1)

У2 = -С1,

(I1I.2)

12= -nil,

ИЛИ, используя а и 6 из уравнений (2.2.1) и (2.2.2),

a2 + bz = {ai + bi),

аг - Ьг = -n{ai - bi).

Если на вход / подается волна Oj, а вход 2 согласован ( 2 = 0), то

ai + bi = nbz, ai - bi = b2.

-Аналогично, если на вход 2 подается волна 02 а вход / согласован (01 = 0), то

02 + 62 = -!,

02 - b2 = nbi,

bi =

2п

2 = 1+02

Таким образом, матрица рассеяния идеального трансформатора запишется в виде

151= -(1-п^) 2п Элементы матрицы рассеяния оказываются равными

ft2-l

Sll - - S22- iqiT.

(III.3)

Si2 =

1 + n

,2 1+11 1-22 1- 11 I+S22

(III.4)

(III.5)

Отметим здесь, что, поскольку все элементы матрицы рассеяния-действительные величины, представление СВЧ-устройства в виде идеального трансформатора возможно только в том случае, если устройство не имеет потерь, а плоскости отсчета расположены в максимуме или минимуме стоячей волны при согласованном' противоположном входе. При п > 1 плоскость отсчета / будет находиться в максимуме (Sn>0), а плоскость отсчета 2 -в минимуме (S22<0) стоячей волны.

Соответственно этому четырехполюсник без потерь и с произвольно райположенными плоскостями отсчета можно представить идеальным трансформатором и отрезками передающей линии.

Пусть матрица рассеяния устройства имеет вид