Главная  Применение сверхвысоких частот 

1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81

следуют из линейности уравнений Максвелла. Остается показать, что в случае изотропного заполнения многополюсник обратим, т. е.

Однако сначала необходимо доказать теорему Пойнтинга, которая устанавливает связь между комплексной мощностью, активной мощностью и накопленной энергией, и лемму Лоренца, которая связывает поля двух отдельных решений уравнений Максвелла.

а. Теорема Пойнтинга. Рассмотрим двухполюсник, подсоединенный каким-либо способом к внешней цепи в сечении Si;


Фиг. 1.5.1. Двухполюсник с плоскостью отсчета Sj.

входное напряжение и и ток i предполагаются известными. Предположим, что стенки двухполюсника изготовлены из идеальных проводников, однако внутри устройства могут иметь место потериi).

В случае синусоидальной зависимости от времени уравнения Максвелла (1.1.7) с учетом (1.1.4) могут быть записаны в комплексной форме

rot Е = - /соаН, rotH = (0 + /a)8)E.

Из тождества

div [ЕН*] = И* rot Е - Е rot И*

(1.5.1)

(1.5.2)

(1.5.Г)

после подстановки уравнения (1.5.1) и уравнения

rotH* = (a -/сйе)Е* получим

div[EH*]= -/(оцН*Н-(0-/(ое)Е*Е =

= -/(о^1;Яр-(а-/(ое)£р. (1.5.2)

Интеграл от дивергенции комплексного вектора Пойнтинга [ЕН*] по объему устройства равен поверхностному интегралу

Если проводник не идеальный, необходимо увеличить рассматриваемый объем, в котором имеют место потери, на глубину проникновения. После этого можно снова считать, что стенки устройства изготовлены из идеального проводника; более подробно см. [2].

от этого вектора. Так как стенки устройства являются идеальными проводниками, то вектор Е на стенках параллелен da и скалярное произведение [ЕН*] da. равно нулю. Поэтому поверхностный интеграл берем только по поверхности (фиг. 1.5.1)

Jdiv[EH*]du= J [EH*]da= J [EH*]dai) =

= /(0 J (e\E\-\i\H\)dv-o\E\dv. (1.5.3)

Умножим обе части равенства на - 1

- J [EH*]da = /cu J {ii\H)[-E\E\)dv+ a\E\Uv. (1.5.3)

Отдельные члены в уравнении (1.5.3) можно интерпретировать следующим образом:

[ЕН*] da -удвоенная комплексная мощность, выходящая через

- J [ЕН*] da

сечение Sj из рассматриваемого двухполюсника; удвоенная комплексная мощность, поступающая

в двухполюсник через сечение S; р, IЯ ldy -учетверенная средняя накопленная энергия магнитного поля Uji,

учетверенная средняя накопленная энергия электрического поля Ue,

удвоенная средняя мощность омических потерь.

Согласно уравнению (1.4.3), А. yj* = [ЕН*] с(а=комплекЬная мощность, поступающая

elEldv-

alElv-

в двyxпoлюcник = 2/(o(t/н -tb;) + -

(1.5.4)

В этом выводе мы не можем произвольно задать направление вектора da; этот вектор, согласно теореме Остроградского - Гаусса, направлен из ( рассматриваемого объема, т. е. в отрицательном направлении оси г. Этим объясняется кажущееся противоречие в знаках в уравнениях (1.5.4) и (1.4.3); в последнем уравнении da направлен по оси z. Заметим также, что направление ( на фиг. 1.5.1 выбрано в соответствии с уравнением (1.4.3).



Понятие комплексная мощность теперь определено совершенно ясно. Оно включает действительную часть (омические потери) и .мнимую часть 2(0 ([/д -f/), которая в свою очередь выражается через накопленную магнитную и электрическую энергии и частоту.

Так как v = zi, то равенство (1.5.4) можно записать в виде

Аналогично получим

- 4/ш(н-/д)+2Р

- 4/ш(/д-/н)-Ь2Р

(1.5.5)

(1.5.6)

Если Uu = Ue, то величина z является чисто действительной, при Р = 0 (потери равны нулю), сопротивление z -чисто мнимая величина.

Теорему Пойнтинга можно обобщить на многополюсные соединения. Рассмотрим 2/г-полюсник, подсоединенный к внешней цепи в сечениях Sj, Sz, S , соответствующих входам 1, 2, п. Входные напряжения Vi, v, .., Vn и токи tj, iz, ..., in определяются по отношению к тем же плоскостям отсчета.

Еще раз найдем интеграл от div[EH*] по объему, ограниченному идеальным проводником и плоскостями Sj, Sz, ..., S . В результате получим уравнение, подобное (1.5.3), только теперь Si необходимо заменить на Sj + Sz + ... + S

- J [EH*]da =

S1+S2+. ..+Sn

= /oj [ J (ц|Яр-е|£2)й?и1 + а \E\v. (1.5.7)

Ho - [EH*] da представляет собой сумму удвоенных комплекс-

ных мощностей, поступающих во входы 1, 2, п. Таким образом.

-4 I [EH*]da = Vpii = 2joiiU -UE) + P, (1.5.8)

Sl+S2+...+S р=1

где Us, Ue Р имеют тот же смысл, что и в уравнении (1.5.3).

I ч

б. Лемма Лоренца. Если (Е , Н ) и (E Н ) представляют собой два различных решения уравнений Максвелла, удовлетворяющие граничным условиям внутри рассматриваемого соединения (либо два различных типа волн, либо два разных генератора высокочастотных колебаний), то на одной и той же частоте имеет место равенство

div{[E<H]-[EH ]} = 0 (1.5.9)

при условии, что устройство имеет изотропное заполнение i). Доказательство тривиально

div {[Е Н*] - [Е'-Н ]} = Н rot Е -

-E .rotH-H<.rotE4ETotH . (1.5.10)

Но из уравнений Максвелла

rot Е = - /(оцН , rot Н = (/(08 + 0) Е , rot Е* = - /(olH rot Н' = (/(ае + а) E

Подставив эти значения в правую часть тождества (1.5.10), получим

- /(оцН^Н - (/(йе + а) Е'Е +

+ /(0tiH H + (/(08 + a)E Es0, (1.5.11)

откуда следует равенство (1.5.9).

Проинтегрируем уравнение (1.5.9) по объему устройства и применим теорему Остроградского -Гаусса

J {[E H]-[EH ]}da = 0 =

J {[Е'Н ] - [Е'-Н ]} da, (1.5.12)

Si+S2+...+S

так как вектор Е параллелен da у проводящей поверхности. Напряжение Цр и ток ip, соответствующие полям Е и Н в сече- , НИИ Sp, можно найти по правилам, полученным в предыдущем \ параграфе. Аналогично можно найти напряжение Ур и ток ip, \ соответствующие Е* и H* .

1) Если в системе'имеются анизотропные элементы, тождество (1.5.11) не выполняется. Если, например, ц является тензором (матрицей), то в общем случае

Н (М-Н^)НЬ ([(i] Н ),

или

Н ВЬ ф ньв .



Если два решения соответствуют одному и тому же типу волны, т. е. если предполагается наличие двух генераторов высокочастотных колебаний, так что

5 [EW]da = c J [E H ]da,

где с -комплексный множитель, то уравнение (1.5.12) может быть записано с учетом уравнения (1.5.8) в виде

- 5 {[Е Н']-[Е^Н']} da=

Sl+S2-l-...+S

= 2 (fpip-fpip) = 0. (1.5.13) p=i

Отметим, что в общем случае на любом входе р J {[EH*l-[EH ]}da=?tO,

так как совершенно не обязательно, чтобы между Е и Н существовала такая же связь, как и между Е* и Н .

в. Свойство обратимости (взаимности). Рассмотрим многополюсное соединение (фиг. 1.5.2), у которого закорочены все входы.


Фиг. 1.5.2. 2л-полюсник; все входы закорочены, кроме р и q.

кроме входов р и q. Рассмотрим две пары: напряжение -ток на входе р (vp, Q и (Ур, jp) и соответствующие им две пары на входе q, рабные (у1 ig) и (Цд, iq). Пусть ко входу р каким-либо способом приложены напряжения Vp а Vp, а ко входу q - Vg

и Vq.

Тогда из уравнения (1.5.13) получим

Vlil-Vli;+Vqil-Vqiq=0.

(1.5.14)

il-yppVt+ypqVq,

iq = yqpVi + yqqVq, il = yppVl + ypqVq, il = yqpvl+yqqVl. ,

Подставим эти выражения в уравнение (1.5.14)

{yppVl + ypqV\)- Ур (ppUp -f- ypqVl) +

+ < (qPl+yqqA) v\ (дрУр + 353) = 0

ИЛИ

{vlvl-Vyq)(pq-~yqp) = Q. (1.5.15)

Так как напряжения Ур, Up, Ug, Уд произвольны и первая скобка не равна тождественно нулю, то

ypq = yqp- (1.5.16)

Чтобы показать, что

Zpq=Zqp, (1.5,17)

необходимо рассмотреть многополюсник, у которого все входы, за исключением входов р и q, нагружены на бесконечно большое сопротивление (для этого можно, например, к этим входам подсоединить четвертьволновые закороченные отрезки волноводов). Соотношение (1.5.14) останется в силе, но теперь, чтобы доказать соотношение (1.5.17), необходимо напряжения выразить через токи.

Уравнения взаимности (1.5.16) и (1.5.17) эквивалентны утверждению о том, что матрица сопротивлений [z] и матрица проводимостей [у] симметричны (приложение I). В заключение отметим, что из симметрии матриц какого-либо устройства не обязательно следует симметрия самого устройства. ч,

г. Теорема Фостера [8]. В приложении II показано, что для двухполюсника без потерь справедливо соотношение:

J {[EdH*] - [dEH*]} da = /do) J (ц Я p + e £ p) dv, (II.7)

где dH и dE - приращения векторов Н и E при изменении частоты



1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81