|
Главная Применение сверхвысоких частот 1 2 3 4 5 6 [ 7 ] 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60 61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 следуют из линейности уравнений Максвелла. Остается показать, что в случае изотропного заполнения многополюсник обратим, т. е. Однако сначала необходимо доказать теорему Пойнтинга, которая устанавливает связь между комплексной мощностью, активной мощностью и накопленной энергией, и лемму Лоренца, которая связывает поля двух отдельных решений уравнений Максвелла. а. Теорема Пойнтинга. Рассмотрим двухполюсник, подсоединенный каким-либо способом к внешней цепи в сечении Si; Фиг. 1.5.1. Двухполюсник с плоскостью отсчета Sj. входное напряжение и и ток i предполагаются известными. Предположим, что стенки двухполюсника изготовлены из идеальных проводников, однако внутри устройства могут иметь место потериi). В случае синусоидальной зависимости от времени уравнения Максвелла (1.1.7) с учетом (1.1.4) могут быть записаны в комплексной форме rot Е = - /соаН, rotH = (0 + /a)8)E. Из тождества div [ЕН*] = И* rot Е - Е rot И* (1.5.1) (1.5.2) (1.5.Г) после подстановки уравнения (1.5.1) и уравнения rotH* = (a -/сйе)Е* получим div[EH*]= -/(оцН*Н-(0-/(ое)Е*Е = = -/(о^1;Яр-(а-/(ое)£р. (1.5.2) Интеграл от дивергенции комплексного вектора Пойнтинга [ЕН*] по объему устройства равен поверхностному интегралу Если проводник не идеальный, необходимо увеличить рассматриваемый объем, в котором имеют место потери, на глубину проникновения. После этого можно снова считать, что стенки устройства изготовлены из идеального проводника; более подробно см. [2]. от этого вектора. Так как стенки устройства являются идеальными проводниками, то вектор Е на стенках параллелен da и скалярное произведение [ЕН*] da. равно нулю. Поэтому поверхностный интеграл берем только по поверхности (фиг. 1.5.1) Jdiv[EH*]du= J [EH*]da= J [EH*]dai) = = /(0 J (e\E\-\i\H\)dv-o\E\dv. (1.5.3) Умножим обе части равенства на - 1 - J [EH*]da = /cu J {ii\H)[-E\E\)dv+ a\E\Uv. (1.5.3) Отдельные члены в уравнении (1.5.3) можно интерпретировать следующим образом: [ЕН*] da -удвоенная комплексная мощность, выходящая через - J [ЕН*] da сечение Sj из рассматриваемого двухполюсника; удвоенная комплексная мощность, поступающая в двухполюсник через сечение S; р, IЯ ldy -учетверенная средняя накопленная энергия магнитного поля Uji, учетверенная средняя накопленная энергия электрического поля Ue, удвоенная средняя мощность омических потерь. Согласно уравнению (1.4.3), А. yj* = [ЕН*] с(а=комплекЬная мощность, поступающая elEldv- alElv- в двyxпoлюcник = 2/(o(t/н -tb;) + - (1.5.4) В этом выводе мы не можем произвольно задать направление вектора da; этот вектор, согласно теореме Остроградского - Гаусса, направлен из ( рассматриваемого объема, т. е. в отрицательном направлении оси г. Этим объясняется кажущееся противоречие в знаках в уравнениях (1.5.4) и (1.4.3); в последнем уравнении da направлен по оси z. Заметим также, что направление ( на фиг. 1.5.1 выбрано в соответствии с уравнением (1.4.3). Понятие комплексная мощность теперь определено совершенно ясно. Оно включает действительную часть (омические потери) и .мнимую часть 2(0 ([/д -f/), которая в свою очередь выражается через накопленную магнитную и электрическую энергии и частоту. Так как v = zi, то равенство (1.5.4) можно записать в виде Аналогично получим - 4/ш(н-/д)+2Р - 4/ш(/д-/н)-Ь2Р (1.5.5) (1.5.6) Если Uu = Ue, то величина z является чисто действительной, при Р = 0 (потери равны нулю), сопротивление z -чисто мнимая величина. Теорему Пойнтинга можно обобщить на многополюсные соединения. Рассмотрим 2/г-полюсник, подсоединенный к внешней цепи в сечениях Sj, Sz, S , соответствующих входам 1, 2, п. Входные напряжения Vi, v, .., Vn и токи tj, iz, ..., in определяются по отношению к тем же плоскостям отсчета. Еще раз найдем интеграл от div[EH*] по объему, ограниченному идеальным проводником и плоскостями Sj, Sz, ..., S . В результате получим уравнение, подобное (1.5.3), только теперь Si необходимо заменить на Sj + Sz + ... + S - J [EH*]da = S1+S2+. ..+Sn = /oj [ J (ц|Яр-е|£2)й?и1 + а \E\v. (1.5.7) Ho - [EH*] da представляет собой сумму удвоенных комплекс- ных мощностей, поступающих во входы 1, 2, п. Таким образом. -4 I [EH*]da = Vpii = 2joiiU -UE) + P, (1.5.8) Sl+S2+...+S р=1 где Us, Ue Р имеют тот же смысл, что и в уравнении (1.5.3). I ч б. Лемма Лоренца. Если (Е , Н ) и (E Н ) представляют собой два различных решения уравнений Максвелла, удовлетворяющие граничным условиям внутри рассматриваемого соединения (либо два различных типа волн, либо два разных генератора высокочастотных колебаний), то на одной и той же частоте имеет место равенство div{[E<H]-[EH ]} = 0 (1.5.9) при условии, что устройство имеет изотропное заполнение i). Доказательство тривиально div {[Е Н*] - [Е'-Н ]} = Н rot Е - -E .rotH-H<.rotE4ETotH . (1.5.10) Но из уравнений Максвелла rot Е = - /(оцН , rot Н = (/(08 + 0) Е , rot Е* = - /(olH rot Н' = (/(ае + а) E Подставив эти значения в правую часть тождества (1.5.10), получим - /(оцН^Н - (/(йе + а) Е'Е + + /(0tiH H + (/(08 + a)E Es0, (1.5.11) откуда следует равенство (1.5.9). Проинтегрируем уравнение (1.5.9) по объему устройства и применим теорему Остроградского -Гаусса J {[E H]-[EH ]}da = 0 = J {[Е'Н ] - [Е'-Н ]} da, (1.5.12) Si+S2+...+S так как вектор Е параллелен da у проводящей поверхности. Напряжение Цр и ток ip, соответствующие полям Е и Н в сече- , НИИ Sp, можно найти по правилам, полученным в предыдущем \ параграфе. Аналогично можно найти напряжение Ур и ток ip, \ соответствующие Е* и H* . 1) Если в системе'имеются анизотропные элементы, тождество (1.5.11) не выполняется. Если, например, ц является тензором (матрицей), то в общем случае Н (М-Н^)НЬ ([(i] Н ), или Н ВЬ ф ньв . Если два решения соответствуют одному и тому же типу волны, т. е. если предполагается наличие двух генераторов высокочастотных колебаний, так что 5 [EW]da = c J [E H ]da, где с -комплексный множитель, то уравнение (1.5.12) может быть записано с учетом уравнения (1.5.8) в виде - 5 {[Е Н']-[Е^Н']} da= Sl+S2-l-...+S = 2 (fpip-fpip) = 0. (1.5.13) p=i Отметим, что в общем случае на любом входе р J {[EH*l-[EH ]}da=?tO, так как совершенно не обязательно, чтобы между Е и Н существовала такая же связь, как и между Е* и Н . в. Свойство обратимости (взаимности). Рассмотрим многополюсное соединение (фиг. 1.5.2), у которого закорочены все входы. Фиг. 1.5.2. 2л-полюсник; все входы закорочены, кроме р и q. кроме входов р и q. Рассмотрим две пары: напряжение -ток на входе р (vp, Q и (Ур, jp) и соответствующие им две пары на входе q, рабные (у1 ig) и (Цд, iq). Пусть ко входу р каким-либо способом приложены напряжения Vp а Vp, а ко входу q - Vg и Vq. Тогда из уравнения (1.5.13) получим Vlil-Vli;+Vqil-Vqiq=0. (1.5.14) il-yppVt+ypqVq, iq = yqpVi + yqqVq, il = yppVl + ypqVq, il = yqpvl+yqqVl. , Подставим эти выражения в уравнение (1.5.14) {yppVl + ypqV\)- Ур (ppUp -f- ypqVl) + + < (qPl+yqqA) v\ (дрУр + 353) = 0 ИЛИ {vlvl-Vyq)(pq-~yqp) = Q. (1.5.15) Так как напряжения Ур, Up, Ug, Уд произвольны и первая скобка не равна тождественно нулю, то ypq = yqp- (1.5.16) Чтобы показать, что Zpq=Zqp, (1.5,17) необходимо рассмотреть многополюсник, у которого все входы, за исключением входов р и q, нагружены на бесконечно большое сопротивление (для этого можно, например, к этим входам подсоединить четвертьволновые закороченные отрезки волноводов). Соотношение (1.5.14) останется в силе, но теперь, чтобы доказать соотношение (1.5.17), необходимо напряжения выразить через токи. Уравнения взаимности (1.5.16) и (1.5.17) эквивалентны утверждению о том, что матрица сопротивлений [z] и матрица проводимостей [у] симметричны (приложение I). В заключение отметим, что из симметрии матриц какого-либо устройства не обязательно следует симметрия самого устройства. ч, г. Теорема Фостера [8]. В приложении II показано, что для двухполюсника без потерь справедливо соотношение: J {[EdH*] - [dEH*]} da = /do) J (ц Я p + e £ p) dv, (II.7) где dH и dE - приращения векторов Н и E при изменении частоты |