Приложение IX

КОЭФФИЦИЕНТ ОТРАЖЕНИЯ КАСКАДНОГО СОЕДИНЕНИЯ

Рассмотрим каскадное соединение двух устройств с коэффициентами отражения Fi и Гг- Определим суммарный коэффициент отражения на входе соединения.

При наличии потерь в соединении определение затруднительно. Если же устройства не имеют потерь. и определены плоскости отсчета, то задачу можно решить, зная угол ф, характеризующий электрическое расстояние между плоскостями отсчета. В том случае когда плоскости отсчета координаты (или фазы) не определены, можно найти только максимальную и минимальную величины Гу.

Коэффициенты отрал<ения Fi и Гз представляют собой элементы матриц рассеяния, равные соответственно Зц и s[. Для устройств без потерь плоскости отсчета можно выбрать так, что

Sii = S22 = ri (действительные величины),

11 = 22 = 2 (действительные величины)

и

(см. § 3.3).

Схема соединения показана на фиг. IX.I. Для нее можно записать два совместных уравнения

(IX.3)

(IX.4)

Исключим из этих выражений bz и Ь[ и разрешим их относительно rT = 6i/ai.

Из уравнения (IX.3) получим

biriai + sizb[e-i<,

62 = Si2ai + ri6;e-4

(IX.1)

(IX.2)

a из уравнения (IX.4)

b[ = Габзе-*. Из этих соотношений имеем

bi = Tiai + SizTzbze-, bz = Sizai + rirzbze-i<i>

или

b =-

1-Г1Г2е-2ф

h -Гг +Iii£i2)!l!!l1a

(IX.4) (IX.5)

(IX.6)

Согласованная нагрузка

-а'г=0

Фиг. IX.1. Каскадное соединение четырехполюсников.

Отсюда можно определить суммарный коэффициент отражения на входе системы

г.=-=г..

Г2 (512) g *

1-Г1Г2е-2ф

или С учетом соотношений (IX.2) i)

Г2(1-ГЬе-2ф п-Гге-Ф 1 Г1Г2е-2ф 1-Г1Г2е-2Ф

(IX.7)

(IX.7)

1) Если в каскадном соединении число устройств больше двух, то для каждого отдельного устройства удобнее использовать матрицу передачи типа [А] (приложение XI). Если же как сами устройства, так и расстояния между ними одинаковы, можно воспользоваться положениями § 7.5. Другой метод состоит в применении к полученному результату (IX.7) метода математической индукции.

Коэффициент отражения на входе ) будет максимальным при Ф = 90° (если Tj и Гз имеют одинаковые знаки), т. е.

Гтах -

Г) + Г2

(IX.8)

Минимальное значение коэффициента отражения получим при Ф = 0, я, 2я, ..., т. е.

lrmin--j- rTir7

Если Г) и Гз малы по сравнению с 1, то

(IX.8)

Г1 + Г2 (максимальное значение).

ГгжГ4-Г2е-2ф/J (IX.9)

Г1-Г2 (минимальное значение).

Если, кроме того, значение Гг мало по сравнению с Г то

TtTi. (IX. 10)

В случае когда Г1 и Г2 одинаковы,

Г,(1-е-2ф)

причем при ф = 0 выражение (IX. 11) обращается в нуль.

(IX.11)

Для тонких неоднородностей, если величины Pi и Гг - действительные и положительные, плоскости отсчета расположены на расстоянии б/4 от неоднородности (большое отражение) или очень близко от неоднородности (малое отражение) [см. также уравнения (5.6.1) -(5.6.3)]. Следовательно, выражение (IX.8) описывает случай, когда тонкие неоднородности расположены на расстоянии Хв/4 (большое отражение) или к^/2 (малое отражение) друг от друга. Соответственно выражение (IX.8) описывает случай, когда тонкие неоднородности расположены на расстоянии Х„/2 (большое отражение) или Яв/4 (малое отражение) друг от друга. Те же выводы, но с других позиций, получены в § 5.9 и 7.5.

РАЗЛОЖЕНИЕ COS nQ В РЯД И ПОЛИНОМЫ ЧЕБЫШЕВА

а. Из тригонометрических, тождеств

cos (Л + В) = cos Л cos В - sin Л sin В, (X. 1)

cos (Л - В) = cos Л cos В + sin А sin В (Х.2)

следует, что

cos(n+ l)6 = cosn9cos9 -sinnOsinB, (Х.Г)

cos(rt-I)9 = cosn9cos9+sin/zesin9, (Х.2)

где Л = п0, В = 9.

Складывая равенства (Х.Г) и (Х.2), получим

cos (п + 1) 9 + cos (л - 1) 6 = 2 cos nQ cos 9 (Х.З)

или

cos(n+ 1)в = 2созпвсозв-со5(л - 1)9. (Х.З')

Уравнение (Х.З') позволяет найти cosfeB при любом k, если известны cos( -1)9 и cos( -2)6. Когда = 0, cos91; когда

Фнг. Х.1. Зависимости cos п9 от 9.

fe = l, cosfe9 = cos6. Исходя из этого, можно непосредственно рассчитать cosfe6 при любом k.

Пусть cos 9 = л:. Из уравнения (Х.З') следует, что

cos 9

cos 26 = 2 cos 9 cos 9 - 1 cos 39 = 2(2л:2- \)x - x cos49 = 2 (4л: - Щх- {2x-cos 59 cos 69

= 1,

= x,

= 2a;2-1, = 4л: -Зл:, l) = 8x*-8x+l, = lQx - 20x + 5x, = 32а;<-48л:*+18л;2-1

(X.4)

и т. д.

б. функция Сп (х) = cos (п arccos х) называется полиномом Чебышева л-го порядка.

Пусть и на этот раз cos 9 = л:. Тогда

Сп (х) = cos [п arccos (cos 9)] = cos nQ, поэтому, согласно соотношениям (Х.4),

(Х.5)

(X.4>

и т. д.

и в соответствии с равенством (Х.З')

(Х.З )

С„+1 {x)=2xCnix)-Cn-i{x).

в. Если - 1<л:<1, то 9 является вещественным числом и С„(д:)<1.

Если I XI > 1, 9 становится мнимой величиной. Однако полиномы (Х.4) все равно верны. При нечетных п С„ (х) - нечетная функция X, при четных п Сп (х) есть четная функция х. При больших значениях х достаточно учитывать только слагаемое с наибольшим показателем степени.

В области - Кл:<1 функция Сп{х) описывается довольно сложной зависимостью. Ее формулу можно найти с помощью полиномов (Х.4) или прибегая к следующему графическому построению: сначала изображается косинусоида cos 9. Но поскольку х = = cos9, зависимость величины Ci(a:) = cos9 от х представляет собой прямую линию с тангенсом угла наклона, равным 1. На чертеже с косинусоидой cos 9 строится косинусоида cos 29. Каждому значению cos 9 соответствует определенная величина cos 29.

График зависимости cos 29 от cos 9 и представляет график фун-ции Czix).

Аналогичное построение производится для л = 3, 4, 5 и. т. д. Графики на фиг. Х.1 и Х.2 служат для иллюстрации этого метода

Фиг. х.2. Полиномы Чебышева.

Необходимо сделать несколько замечаний:

1. При х= +1 Сп{х) всегда равна -f 1.

2. Если л -четное число, то при х= - 1 Сп{х) всегда равна? -f 1 [С„(х) - четная функция].

Если же л - нечетное число, то при л: = - 1 С„ (х) всегда равна - 1 [С„ (л:) - нечетная функция].

3. В интервале - 1 <: л: <: 1 функция Сп (х) п раз принимает нулевое значение (независимо от ее четности).

4. Если п -нечетное число, то при х = 0 C (x) = 0.

Если же п - четное число, то при л; = О С„ (л:) = -f 1, когда п-кратно 4, и Сп{х)= -I, когда п не кратно 4.