Согласно уравнениям (XIII.3) и (XIII.3), имеем EJ rot Н = /о)Е(,Е*Е вне ДУ, Е* rot Н = /соеЕ*Е внутри V.

Согласно уравнениям (XIII.4) и (XIII.4), Н* rot Е = - /о)роН*Н вне V,

(XIII.5) (XIII.5)

(XIII.6)

.HJrotE=-/о)рН*Н внутри ДУ. (XIII.6)

Для невозмущенного резонатора в соответствии с уравнениями (XIII. 1) и (XIII.2) имеем

Е rot HJ = - /сОоеоЕ*Е, (XIII.7)

HrotE* = /cooPoH:H. (XIII.7)

Вычисляя разность {EJ rot Н +Е rot Н*}-{Н* rot Е + Н rot Е*} и интегрируя ее по объему V, получаем

J [{Е* rot Н + Е rot Но) - (Но rot Е + Н rot Е„*}] dv =

= J [/ (со - соо) epEJE + / (со - сор) РоН„*Н] dv +

+ J [/co(e-eo)E *E + /(B(p-po)H*H]dy. (XIII.8)

Но из векторного тождества

div [АВ] S В rot А -А rot В

и теоремы Остроградского -Гаусса следует, что левая часть равенства (XIII.8) равна

- I {div [Е:Н] + div [EHJ]} dv=~\ {[EJH] + [EHJ]} da. (XIII.9) v s

Интеграл no поверхности равен нулю, так как вектор Е (или Eq) параллелен da (нормали к проводящей поверхности). Следовательно, уравнение (XIII.8) принимает следующий вид:

О = / (со - щ) J [eoEjE + РоН„*Н] dv +

+ /с0 [(e-eo)E*E + (p-po)H *H]dy откуда находим

О) -0*0

\ [(8 - 8о) Ео*Е + (JI - Но) Н*Н] dv

I (ЕоЕ*Е + ХоН*Н) dv

(XIII.8) (XIII. 10)

Поскольку до сих пор мы не накладывали никаких ограничений, уравнение (XIII. 10) дает точное решение. Но если допустить, что объем ДУ возмущающей неоднородности мал и что вне этого объема влиянием неоднородности можно пренебречь, т. е. E = Eq

и Н = Но вне V, то интеграл (eoE*E + poHJH)du приближенно

равен выражению (ed £о Р +М-о] о Р) т. е. учетверенной сред-

ней накопленной энергии [уравнения (1.1.11) и (1.1.12)].

В этом случае уравнение (XIII. 10) принимает следующий вид:

I [(8-6o)E*E+(n-Ho)HJH]dD

(XIII.11)

Источник возмущения обычно вводится в область, где очень мало либо магнитное поле, и тогда

I [(6-6o)E .E]dt,

ш - СОр ДУ

Юо 4С/ поли

либо электрическое поле, и тогда

I [(n-(Xo)Ho*H]dt.

О)-щ дг

(XIII.11)

(XIII.1Г)

Интеграл в выражениях (XIII.1 Г) или (XIII.1Г) нетрудно вычислить, если границы возмущающей неоднородности имеют простую форму, при которой вектор Е либо параллелен основной границе, и тогда

Ео = Е,

либо ей перпендикулярен, и тогда

Do = D

или

еоЕо = еЕ.

Аналогичные условия относятся и к вектору Н.

Возмущающая неоднородность может представлять собой диэлектрик (или ферромагнетик) с потерями. При этом уравнение (XIII. 11) остается справедливым, но проницаемость е теперь уже будет комплексной величиной

Как указывалось в § 5.4, п. в , комплексную резонансную частоту резонатора с потерями (но с высокой собственной добротностью Qo) можно следующим образом выразить через Qo:

г = со

рез

2Qo

(XIII. 13)

где сорез -частота, соответствующая резонансу (т. е. частота, на которой полное сопротивление резонатора в плоскости эквивалентного представления является вещественной величиной). Если тот же метод применить к (о и озо, то уравнение (XIII. 1 Г) примет следующий вид:

о) . Шо eg(g i yg ) J [E*E]dv

- (XIII. 14)

- щ - j

ы + j

при условии, что диэлектрическая проницаемость во всем объеме AV одинакова.

Равенство (XIII. 14) можно разбить на вещественную и мнимую части, пренебрегая при этом величиной /co/2Q в знаменателе по сравнению с со

Ш - Юо

ш

= -ео(е'-1)

1 1 -рр

[Е*Е] dv

(XIII. 15)

(XIII. 15)

Таким образом, измеряя сдвиг резонансной частоты и изменение добротности Qo, можно определить е' и е . Аналогичный расчет можно произвести для величин р' и р .

2. Возмущение в волноводе

Предположим, что в волноводе появилось малое возмущение, вызванное образцом материала с поперечным сечением AS. Волновод и образец однородны в направлении оси z. Пусть постоянные распространения в волноводе при отсутствии и при наличии источника возмущения равны уо и у соответственно. Обозначим через Ео и Но поля в каждой точке невозмущенного волновода, имеющего вакуумное наполнение (ео, ро)- Для возмущенного волновода обозначим поля через Е и Н, а возмущение будем характеризовать параметрами е и i.

Запищем Е и Н в виде

E = Ee -v), (XIII. 16)

H = Hei(-v), (XIII. 17)

где Е' и Н' являются функциями только поперечных координат.

Фиг. XIII.2. Волновод с возмущающим образцом.

В возмущенном волноводе уравнения Максвелла следующий вид:

rot Но = rot (Н;еЛ (-7ог)) = /(oeoE;eJ( -vo), rot Ео = rot (E;eK -vo)) = - /copoH;e3( -vo). Но, используя векторное тождество

[V (mA)] = m[VA]-i-[(Vm) А],

получим

rot H;e3( -w) = ei( -w> rot Н; + [(Ve( -w)) Н;] =

= eiM-voi (rot H; - [a J7oH;]}.

Уравнения (XIII. 18) и (XIII. 19) приобретают вид rot Н; - [a/voH;] = /собоЕ;,

rot е;-[а JyoE;] = - /сороН;,

а для волновода с источником возмущения

rotH-[aJ7H] = /coeoE вне AS,

= /соеЕ внутри AS, rot Е' - [а,/уЕ] = - /сороН' вне AS,

= -/(OfiH внутри AS. Из уравнений (XIII.23) и (XIII.23) следует, что E;*rotH-E;*[aJYH] = /coeoE;*E вне AS,

= /соеЕЕ' внутри AS.

принимают

(XIII. 18) (ХП1.19)

(XIII.20)

(XIII.21) (Хт.22)

(XIII.23) (XIII.23)

(XIII.24) (XIII.24)

(XIII.25) (XIII.25)

Из уравнений (XIII.24) и (XIII.24) следует, что Н;* rot Е' - Н;* [а,/уЕ] = - /сороН;*Н' вне S, (XIII.26)

= -/сорН;*Н' внутри AS. (XIII.26)

Для невозмущенного волноюда в соответствии с уравнениями (XIII.21) и (XIII.22) имеем

Е' rot Н;* + Е' [а,/уоН;*] = -/соеоЁ;*Е', (XIII.27) Н' rot Е;* + Н' [а,/уоЕ;*] = /сороН;*Н'. (XIII.27)

Сложив уравнения (XIII.25) и (XIII.27), вычтя уравнения (XIII.26) и (XIII.27) и проинтегрировав результат по объему, получим

J {(е;* rot н' + Е' rot н;*) - (н; rot е' + н' rot е;*)} dv -

- / (Y - То) I (Е;* [а,Н'] - Н;* [а,Е']} dv =

= / 5 {(e-So)E;*E + (p-Po)H;*H}dy. (XIII.28)

Первый интеграл аналогичен выражению (XIII.9) и поэтому равен нулю. Равенство (XIII.28) без этого интеграла должно соблюдаться при любой длине волновода, и поэтому интегрирование по объему можно заменить интегрированием по поперечному сечению

/(Т-То) 5{[E;*H]-[H;*E]}da =

= /cdJ [(e-eo)E;*E + (p-po)H;*H]dfl (XIII.29)

или

у -То = -

О) I [(6-6o)Ei*E4-(n-Ho)HitH]da

2 1, lEi*H]da

О) J [(6-eo)Ei*E+(!X-!Xo)H;*H]da

, (XIII.30)

если принять, что влияние возмущения является локализованным, т. е. что AS С S и что вне возмущающего объема Е=Ев и Н = Но.

Если е (или р) - комплексная величина, то у -также комплексная величина

у = Р-/а, (XIII.31)

где Р -фазовая постоянная, а а -декремент затухания. Выражение (XIII.30) принимает вид

I [Ei.E]da

Р-/а-Ро = соео(е'-1 -/е ) -- (XIII.30)

и может быть расчленено на действительную и мнимую составляющие

О) \ [Ei*E]da

P-Po = eo(e-l)-jp-,

а = еое

О) I [Ei*E]da

4Р

(XIII.32) (XIII.33)

3. Возмущение стенки резонатора

Рассмотрим резонатор, изображенный на фиг. XIII.3, в котором имеется инородное включение малого объема АУ. Это включение (с параметрами е, р) примыкает к стенке резонатора.

Фиг. XIII.3. Возмущение стенки резонатора.

Уравнение (XIII.II) справедливо и для этого случая I [бо(8-1)Е?Е-Ьцо(и'-1) H*H]dt>

ю

--. (XIII.I1)

Поскольку вектор электрического поля перпендикулярен к стенке, а вектор магнитного поля параллелен ей, соотнощения между Ео и Е, а также между Hp и Н имеют следующий вид:

оЕр = бЕ

или

Ео = е'Е