(XVIII.1)

ZoT-йгг- (XVIII.2)

Если фильтр чисто реактивный (без потерь), то мощность Т, проходящая в нагрузку, равна

Т = (1-ГР)Ро. (XVIII.3)

Сразу же заметим, что если нет оконечного сопротивления Zqz, входное сопротивление Z должно быть чисто реактивным. Оно может быть выражено по теореме Фостера с помощью уравнения (1.5.20)

Фиг. XVII 1.1. Фильтр с оконечной нагрузкой.

и становится нулем или бесконечностью для определенных действительных значений частот со (нули и полюсы Z). Однако при включении сопротивления Z02 нули и полюсы будут иметь место при комплексных значениях частот сос- Переходный режим слабо нагруженного резонатора является примером комплексного полюса, как это и выражено уравнением (5.4.18). Мнимая часть сОс должна быть положительной, в противном случае амплитуда высокочастотных колебаний в резонаторе в режиме свободных колебаний будет возрастать. Если

s = /4, (XVni.4)

I В (И2)

В самом деле, по уравнению (1.5.22)

У = /со/(со2) +

так что

Г12=ГГ*- /1-К*> (l-l/Zo2)2

(XVIII.7)

(XVIII.8)

(l+к) (l + K*) -

,1+К/ Vl + K* Следовательно, Г (- s) 1 можно

(l+l/Z02)2 + to2/2 ( 2)

записать как отношение

(XVIII.7)

полиномов от

> ~ Bo + Bs+... + BnS

или через корни

ll) (- 12) -4 )

)(s2-Sb2)---(S

2 о2 Вп

или как

) Более подробно см. [34].

(XVIII.9)

(XVIII.9)

(xviii.g )

3 = /С0действ -а, (XVIII.4)

где - положительная величина.

Из такого поверхностного рассмотрения i) следует, что Z(s) должно иметь полюсы только в левой половине s-плоскости. В правой половине s-плоскости функция Z(s) описывается полиномом Гурвица.

Обозначим через / (/со) коэффициент передачи по напряжению, определяемый из соотношения

Т/Ро = I / (/со) 2 = t (/со) /* (/со) = t (/со) ( - /со). (XVIII.5)

Рассматриваемый четырехполюсник не имеет потерь, и предполагается, что элементы его не зависят от частоты. Из уравнений (XVin.3) и (XVIII.5) имеем

I Г 2 = Г (/со) Г (- /со) = 1 - (/со) f{ - /со). (XVIII.6)

Метод Дарлингтона для синтеза четырехполюсника соответственно заданной форме Т (со) состоит в получении функции Г (/со), а затем Z(/co) с помощью уравнения (XVIII.2). Следовательно, для заданной амплитудной характеристики сигнала будет найдена форма входного сопротивления, причем некоторые сложные вопросы не будут затронуты, так как они находятся вне рассматриваемой темы.

Покажем, что функцию Г 2 можно записать как отношение двух полиномов от со

ФИЛЬТР нижних ЧАСТОТ I. Метод Дарлингтона

В соответствии с § 1.3 коэффициент отражения на входе устройства, изображенного на фиг. XVIII. 1, описывается уравнением

p (Z/Zoi)-l (2/Zoi) + l

и входное сопротивление равно

Z 1 + Г

где для ясности si, 5,42, Sak, Sbu Sb2, Sb являются

корнями, находящимися в левой полуплоскости, в то время как sai = -Sau sa2= -sa2, sbi = -Sbi, ... находятся в правой полуплоскости, в сокращенной форме

P(Sa) р^а)

Г(-5) Р =

{XVIII. 10)

Может показаться, что в выражении Г (s) знаменатель следовало бы выбрать состоящим либо из д{5в), либо из д{5в)- Однако требование, чтобы Z(s) было полиномом Гурвица, в свою очередь требует, чтобы Г (s) имел свои полюса в левой полуплоскости [34]. Если Г (s) имел бы полюса в правой полуплоскости, то это привело бы к превышению значения единицы для определенных значений Z(s) в правой полуплоскости. Но так как вся правая часть плоскости Z (s) нанесена на плоскость Г (s) в пределах окружности единичного радиуса, то Г (s) должен быть также аналитичным в правой полуплоскости.

В числителе может быть выбрано либо р (s), либо р (sa). Кроме того, Г (s) может быть приписан либо знак + . либо знак - , но получаемые при этом два сопротивления будут различны и дуальны друг другу. Следовательно,

Г(5) = ±47Х {XVIII. И)

я is)

Z{s) (S) ± р (5) 2о1 ? (S) =F Р (S)

(XVIII.12)

Во многих случаях, представляющих интерес, можно раскрыть уравнение (XVIII. 12) как непрерывную дробь.

2. Характеристика Баттерворса

Характеристикой Баттерворса является выражение вида

Т/Ро =

с Zoi = Zo2, так что

Г (0)2) 2 =

ИЛИ

Рассматривая нули ( -s) , имеем

/7(S) = S .

(XVIII. 13) (XVIII. 14) (XVIII. 14) (XVIII. 15)

Нули левой полуплоскости 1+( -s) есть

Sft=/Vv 2п; (XVIII. 16)

и лежат на окружности, как это может быть подтверждено теоремой Муавра (фиг. XVIII.2). Знаменатель Г(5) равен тогда

q{s) = {s-si){s-sz) ...{s-Sn). (XVIII.17)

Для того чтобы получить первый член как параллельно включенный элемент (в соответствии с выбором плоскости отсчета параметров

Фиг. XVIII.2. Корин выражения 1 Ц- (-s=) .

резонатора как плоскости минимума при расстройке резонатора), знак T{s) выбирается таким образом, что уравнение (XVIII. 12) принимает вид

Z(S) g(s)-p(S) (S-Si)(S-S2) ... (s-sn)-s

Zoi q{s) + p(s) (s-Si)(s-S2) ... (s-s ) + s

-2sn + a i5 -i+...+ iS + o (XVIII-18) где в соответствии с правилами алгебры

ап-1= - (S1 + S2+----hSn).

ап-2 = (S1S2 + S1S3 + .. - -Ь SiS ),

а„-з = - {S1S2S3 + s,S2S4 + ...), (XVIII. 19)

0= (-l) SiS2S3 ... Sn.

Как ВИДНО из уравнения (XVIII.2) и как установлено с помощью (XVIII. 16), корни Sft взаимосвязаны. Например, s является сопряженным с Si, Sn-i с S2*n в общем виде

(XVIII.20)

так что они могут быть разделены попарно, исключая то обстоятельство, что, когда п нечетно, средний корень равен - 1. Отсюда следуют многие упрощения уравнений (XVIII. 19). В частности, поскольку

SkSt = SkSn-k+i=l, (XVIII.21)

получаем

ао=1. (XVIII.22)

Из уравнения (XVI11.16) сумма двух сопряженных корней равна

. /2ft-1ч . lAR-lx

Sfe + s -ft+j = Sft + s = /e 2п; /е Ч 2п Г=

/2ft-l4

По определению, пусть

ft = 2sin {2k-\)

2п

Отсюда следует, что

~gh = Sk + Sn~k+i

2sin(2fe-l). (XVIII.22)

(XVIII.23)

(XVIII.24) (XVIII.24)

К сожалению, хотя возможны многие значительные упрощения и связи такого сорта*), процедура нахождения элементов фильтра через корни чрезмерно запутана для общего случая п. Для заданного значения п может быть использована формула Беннетта

ft = 2sin(2A:-l)j-=-(Sft + s),

(XVIII. 23)

которая дает значение -го элемента фильтра.

Рассмотрим случай /г = 4 и предположим, что получено разложение дроби

Z (S) 1

(XVIII.25)

g25+-

) Например, можно показать, что а„ , = 2/, посредством тригонометрической формулы sin X + sin3 jc -Ь + sin тх = sin /пх/sin х.

так как из уравнения (XVIII.24)

Перегруппировывая члены, имеем

() gi8ls + gls + (gi+g2)s + i /YлтI9fi

Zoi glgls+gigls+(gl + 2gig2)si + (gi + g2)s+l- lviii.zo;

Условия идентичности этого уравнения уравнению (XVIII. 18) дают

2 = glgl,

an-i = gig;, an-2 = gl = gl

2gig2,

(XVni.27)

fln-a = 1 a 4 = 1.

g2,

Поскольку корни дрлжны быть расположены через равные промежутки и симметрично относительно реальной оси, получаем

an-i = - I(si + St) + {S2 + st)] = gi + g2= ~

a -2 = 2 + (Si + s*) (S2 + s*) = 2 + gig2, xyjjJ

an-3 = - [(Si + St) (S2S*) + (S2 + s*) (s.s*)] = gi + g2, an-i. = 1

Однако только значения gh, определяемые уравнением (XVni.23), будут также удовлетворять условиям

glgl = 2, (XVIII.27a)

= = 1 + 212 = 2+ /2. (XVIII.276)

3. Характеристика Чебышева

Характеристика Чебышева описывается выражением вида

Т/Ро--

(XVIII.29)

1 + 8 C(X)-

Оконечное сопротивление Z02 равно Zqi, если п нечетно ). На практике этого случая обычно избегают, так как Z02 должно быть непосредственно связано с е [см. уравнение (6.5.17)].

) Для п четного при х = 0 Т/Рд =--ГР =

i-fe

Vl-f е

так что

2o2yi+8 ±e 2о1 yi+e2=F8